Đặt x = √a, y = √b, z = √c, khi đó x, y, z > 0, y ≠ z và
x^2 + y^2 = (x + y - z)^2
Khai triển được
x^2 + y^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2xy - 2xz - 2yz
suy ra
z^2 + 2xy - 2xz - 2yz = 0
hay
2x(y - z) = z(2y - z)
Vì y ≠ z nên y - z ≠ 0, do đó
x = z(2y - z) / 2(y - z)
Ta có
a + (√a - √c)^2 = x^2 + (x - z)^2 = 2x^2 - 2xz + z^2
b + (√b - √c)^2 = y^2 + (y - z)^2 = 2y^2 - 2yz + z^2
Mặt khác, từ
2x(y - z) = z(2y - z)
suy ra
2x^2(y - z) = xz(2y - z)
nên sau khi biến đổi tương đương, ta được
(2x^2 - 2xz + z^2)(y - z) = (2y^2 - 2yz + z^2)(x - z)
Chia hai vế cho (2y^2 - 2yz + z^2)(y - z), ta có
[2x^2 - 2xz + z^2] / [2y^2 - 2yz + z^2] = (x - z) / (y - z)
Tức là
[a + (√a - √c)^2] / [b + (√b - √c)^2] = (√a - √c) / (√b - √c)
Đpcm
