Question

Câu 4 (1,5 điểm): Cho tam giác \( ABC \) vuông tại \( A \) có đường cao \( AH \) (\( H \in BC \)), kẻ \( HD \) vuông góc với \( AC \) tại \( D \) (\( D \in AC \)).

a) Chứng minh: \( \triangle DAH \) đồng dạng với \( \triangle HAC \) từ đó suy ra \( AH^2 = AD \cdot AC \)

b) Từ \( A \) vẽ đường phân giác của góc \( HAC \) cắt \( HD, BC \) lần lượt tại \( I \) và \( K \). Chứng minh: \( AH \cdot AI = AD \cdot AK \) và \( \triangle HIK \) cân.

c) Từ \( C \) vẽ \( CJ \) vuông góc với \( AK \) (\( J \in AK \)). Chứng minh: \( AK^2 = AH \cdot AC - HK \cdot KC \)

Answer 1

a: Xét ΔADH vuông tại D và ΔAHC vuông tại H có

\(\widehat{DAH}\) chung

Do đó: ΔADH~ΔAHC

=>\(\dfrac{AD}{AH}=\dfrac{AH}{AC}\)

=>\(AD\cdot AC=AH^2\)

b: Xét ΔAHK vuông tại H và ΔADI vuông tại D có

\(\widehat{HAK}=\widehat{DAI}\)(AK là phân giác của góc HAC)

Do đó: ΔAHK~ΔADI

=>\(\dfrac{AH}{AD}=\dfrac{AK}{AI}\)

=>\(AH\cdot AI=AK\cdot AD\)

ΔAHK~ΔADI

=>\(\widehat{AKH}=\widehat{AID}\)

mà \(\widehat{AID}=\widehat{KIH}\)(hai góc kề bù)

nên \(\widehat{KIH}=\widehat{AKH}=\widehat{IKH}\)

=>ΔHIK cân tại H