Câu 5 (1,0đ) Bóng của tháp Bình Sơn (Vĩnh Phúc) trên mặt đất có độ dài 20m. Cùng thời điểm đó, một cột sắt cao 1,65m cắm vuông góc với mặt đất có bóng dài 2m. Tính chiều cao của tháp Bình Sơn.
Câu 6: (2,5 điểm) Cho \( \triangle ABC \) vuông tại \( A \), vẽ đường cao \( AH \) \((H \in BC)\).
a) Chứng minh: \( \triangle HBA \sim \triangle ABC \). Từ đó suy ra \( AB \cdot AC = AH \cdot BC \)
b) Kẻ \( HF \perp AB \) và \( HE \perp AC \) \((F \in AB, E \in AC)\). Chứng minh \( EF^2 = HB \cdot HC \)
c) Chứng minh \( AF \cdot FB + AE \cdot EC = EF^2 \)
Câu 5
Xem chiều cao tháp Bình Sơn là đoạn AD
Chiều cao cột sắt là đoạn CE
Do AD ⊥ AB
CE ⊥ AB
⇒ AD // CE
∆ABD có:
AD // CE (cmt)
⇒ AD = AB . CE : BC
= 20 . 1,65 : 2
= 16,5 (m)
Vậy tháp Bình Sơn cao 16,5 m
Câu 6
a) Xét hai tam giác vuông: ∆HBA và ∆ABC có:
∠B chung
⇒ ∆HBA ∽ ∆ABC (g-g)
⇒ AB.AC = AH.BC
b) ∆ABC vuông tại A (gt)
⇒ ∠BAC = 90⁰
⇒ ∠FAE = 90⁰
Do HE ⊥ AC (gt)
⇒ ∠AEH = 90⁰
Do HF ⊥ AB (gt)
⇒ ∠AFH = 90⁰
⇒ ∠FAE = ∠AEH = ∠AFH = 90⁰
Tứ giác AEHF có:
∠FAE = ∠AEH = ∠AFH = 90⁰ (cmt)
⇒ AEHF là hình chữ nhật
⇒ EF = AH (1)
Do AH là đường cao của ∆ABC (gt)
⇒ AH ⊥ BC
⇒ ∆AHB vuông tại H
⇒ ∠HAB + ∠ABH = 90⁰
⇒ ∠HAB + ∠ABC = 90⁰ (2)
∆ABC vuông tại A (gt)
⇒ ∠ACB + ∠ABC = 90⁰
⇒ ∠ACH + ∠ABC = 90⁰ (3)
Từ (2) và (3) ⇒ ∠HAB = ∠ACH
Xét hai tam giác vuông: ∆AHB và ∆CHA có:
∠HAB = ∠ACH (cmt)
⇒ ∆AHB ∽ ∆CHA (g-g)
⇒ AH² = HB.HC (4)
Từ (1) và (4) ⇒ EF² = HB.HC
c) Do AEHF là hình chữ nhật (cmt)
⇒ HE ⊥ HF
⇒ ∆EFH vuông tại H
⇒ EF² = HE² + HF² (Pythagore) (5)
Xét hai tam giác vuông: ∆AEH và ∆HEC có:
∠HAE = ∠CHE (cùng phụ ∠ACB)
⇒ ∆AEH ∽ ∆HEC (g-g)
⇒ HE² = AE.EC (6)
Xét hai tam giác vuông: ∆AHF và ∆HBF có:
∠FAH = ∠FHB (cùng phụ ∠ABC)
⇒ ∆AHF ∽ ∆HBF (g-g)
⇒ HF² = AF.FB (7)
Từ (5), (6) và (7) ⇒EF² = AF.FB + AE.EC
