Question

Giải phương trình nghiệm nguyên: \(x^4 - y^4 = 3y^2 + 1\)

Giải phương trình nghiệm nguyên: \(1 + x + x^2 + x^3 = y\)

Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: \(y^2 = 1 + x + x^2 + x^3 + x^4\)

Answer 1

Câu 1 :

\(x^4-y^4=3y^2+1\)

\(\Leftrightarrow x^4=y^4+3y^2+1\left(1\right)\)

\(TH_1:y=0\)

\(\left(1\right)\Rightarrow x^4=1\Rightarrow x=\pm1\)

\(TH_2:y\ne0\)

Ta thấy : \(y^4< y^4+3y^2+1< y^4+4y^2+1\)

\(\Rightarrow y^4< x^4< \left(y^2+2\right)^2\)

\(\Rightarrow x^4=\left(y^2+1\right)^2\) ( \(3\) số chính phương liên tiếp khi \(x;y\in Z\))

\(\Rightarrow y^4+3y^2+1=y^4+2y^2+1\)

\(\Rightarrow y^2=0\Rightarrow y=0\) (trái với \(y\ne0\))

\(\Rightarrow\) Trường hợp này không có nghiệm

Vậy \(\left(x;y\right)\in\left\{\left(-1;0\right);\left(1;0\right)\right\}\)

Answer 2

Câu 2 :

\(1+x+x^2+x^3=y\left(1\right)\)

\(TH_1:x=0\Rightarrow y=1\)

\(TH_2:x=1\Rightarrow y=4\)

\(TH_3:x=-1\Rightarrow y=0\)

\(TH_4:x>1\)

Ta thấy \(x^3< 1+x+x^2+x^3< \left(x+1\right)^3\)

\(\Rightarrow x^3< y< \left(x+1\right)^3\) (Vô lý vì \(x;y\in Z\) và \(x^3;\left(x+1\right)^3\) là \(2\) số mũ \(3\) liên tiếp)

\(\Rightarrow\) Trường hợp này vô nghiệm

Vậy \(\left(x;y\right)=\left\{\left(-1;0\right);\left(0;1\right);\left(1;4\right)\right\}\) thỏa đề bài

(Câu 3 làm tương tự như trên với các trường hợp \(x=0;x=-1;x< -1;x>0\))