Question

Bài 19: Cho \( \triangle KBC \) vuông tại \( K \) có \( KB < KC \). Tia phân giác góc \( \hat{B} \) cắt \( KC \) tại \( H \). Qua \( C \) vẽ đường thẳng vuông góc với tia \( BH \) tại \( I \).

a) Chứng minh \( \triangle BHK \sim \triangle CHI \) (Hình 31)

b) Chứng minh \( CI^2 = IH \cdot IB \)

c) Tia \( BK \) cắt \( CI \) tại \( A \), tia \( AH \) cắt \( BC \) tại \( D \).

Chứng minh \( KC \) là phân giác \( \angle IKD \).

Answer 1

a: Xét ΔBHK vuông tại K và ΔCHI vuông tại I có

\(\widehat{BHK}=\widehat{CHI}\)(hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔBHK~ΔCHI

b: ΔBHK~ΔCHI

=>\(\widehat{HBK}=\widehat{HCI}\)

mà \(\widehat{HBK}=\widehat{HBC}\)(BH là phân giác của góc KBC)

nên \(\widehat{IBC}=\widehat{ICH}\)

Xét ΔIBC và ΔICH có

\(\widehat{IBC}=\widehat{ICH}\)

\(\widehat{BIC}\) chung

Do đó: ΔIBC~ΔICH

=>\(\dfrac{IB}{IC}=\dfrac{IC}{IH}\)

=>\(IB\cdot IH=IC^2\)

c: Xét ΔBAC có

BI,CK là các đường cao

BI cắt CK tại H

Do đó: H là trực tâm của ΔBAC

=>AH\(\perp\)BC tại D

Xét tứ giác BKHD có \(\widehat{BKH}+\widehat{BDH}=90^0+90^0=180^0\)

nên BKHD là tứ giác nội tiếp

Xét tứ giác AKHI có \(\widehat{HKA}+\widehat{HIA}=90^0+90^0=180^0\)

nên AKHI là tứ giác nội tiếp

Ta có: \(\widehat{DKH}=\widehat{DBH}\)(BKHD nội tiếp)

\(\widehat{IKH}=\widehat{IAH}\)(KHIA nội tiếp)

mà \(\widehat{DBH}=\widehat{IAH}\left(=90^0-\widehat{BCI}\right)\)

nên \(\widehat{DKH}=\widehat{IKH}\)

=>KC là phân giác của góc DKI