1) Cho các số thực a, b, c thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng:
\[
\frac{a}{ab+a+1} + \frac{b}{bc+b+1} + \frac{c}{ca+c+1} = 1
\]
2) Cho a, b, c là các số nguyên thỏa mãn \(a + b + 2024c = c^3\). Chứng minh rằng: \(a^3 + b^3 + c^3\) chia hết cho 6
3) Tìm tất cả các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn \(x^2 - xy - 2022x + 2023y - 2024 = 0\)
1) \(\dfrac{c}{ca+c+1}=\dfrac{\dfrac{1}{ab}}{\dfrac{1}{ab}a+\dfrac{1}{ab}+1}=\dfrac{\dfrac{1}{ab}}{\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{ab}+1}=\dfrac{1}{a+1+ab}\left(abc=1\Rightarrow c=\dfrac{1}{ab}\right)\)
\(\dfrac{b}{bc+b+1}=\dfrac{b}{bc+b+1}.\dfrac{a}{a}=\dfrac{ab}{abc+ab+a}=\dfrac{ab}{a+1+ab}\)
\(\Rightarrow\dfrac{a}{ab+a+1}+\dfrac{b}{bc+b+1}+\dfrac{c}{ca+c+1}=\dfrac{a}{ab+a+1}+\dfrac{1}{a+1+ab}+\dfrac{ab}{a+1+ab}\)
\(=\dfrac{a+1+ab}{a+1+ab}=1\left(đpcm\right)\)
