Question

2. Cho \( \triangle ABC \) vuông tại \( A \), \( AB = 6 \), \( BC = 10 \). Qua trung điểm \( M \) của \( AB \) vẽ đường thẳng song song với \( AC \) cắt \( BC \) tại \( N \).

a, Tính \( MN \)

b, Kẻ phân giác \( BD \) của \( \triangle ABC \) cắt \( MN \) tại \( I \) ( \( D \in AC \) ). Chứng minh \( IA \cdot IC = IN \cdot ID \).

bc, Qua \( C \) kẻ đường thẳng vuông góc với \( AC \) cắt \( BD \) tại \( S \). Tính \( S_{ABD} \).

Answer 1

a: ΔABC vuông tại A

=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)

=>\(AC=\sqrt{10^2-6^2}=8\)

Xét ΔABC có MN//AC

nên \(\dfrac{MN}{AC}=\dfrac{BM}{BA}\)

=>\(\dfrac{MN}{8}=\dfrac{1}{2}\)

=>\(MN=\dfrac{8}{2}=4\)

b:

Xét ΔABC có

M là trung điểm của BA

MN//AC

Do đó; N là trung điểm của BC

Xét ΔBAC có BD là phân giác

nên \(\dfrac{DA}{DC}=\dfrac{BA}{BC}=\dfrac{2\cdot BM}{2\cdot BN}=\dfrac{BM}{BN}\)(1)

Xét ΔBMN có BI là phân giác

nên \(\dfrac{IM}{IN}=\dfrac{BM}{BN}\)(2)

Từ (1),(2) suy ra \(\dfrac{DA}{DC}=\dfrac{IM}{IN}\)

=>\(DA\cdot IN=DC\cdot IM\)

c: Xét ΔDAB vuông tại A và ΔDCS vuông tại C có

\(\widehat{ADB}=\widehat{CDS}\)(hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔDAB~ΔDCS

=>\(\dfrac{S_{DAB}}{S_{DCS}}=\left(\dfrac{DA}{DC}\right)^2=\left(\dfrac{BA}{BC}\right)^2=\left(\dfrac{6}{10}\right)^2=\left(\dfrac{3}{5}\right)^2=\dfrac{9}{25}\)