Cho tam giác \( ABC \) vuông tại \( A \) (\( AB < AC \)), kẻ đường cao \( AH \) của \( \triangle ABC \). Lấy \( M \) là trung điểm của \( HC \), \( N \) lần lượt là trung điểm của \( AH \).
a. Chứng minh \( \triangle HMN \) đồng dạng với \( \triangle HCA \).
b. Gọi \( K \) là giao điểm của \( MN \) và \( AB \). Chứng minh \( \triangle KAN \) đồng dạng với \( \triangle ACB \).
a) Xét \(\Delta\) HMN và \(\Delta\) HCA, ta có:
\(\widehat{MHN}\) chung.
\(\frac{HM}{HA} = \frac{\frac{1}{2}HC}{\frac{1}{2}AC} = \frac{HC}{AC}\) (vì M là TĐ HC và N là TĐ AH).
=>\(\Delta\) HMN \(\sim\) \(\Delta\)HCA (c.g.c).
b) Vì \(\Delta\)HMN \(\sim\) \(\Delta\) HCA (CMT), nên \(\widehat{HMN}=\widehat{HAC}\)
Mà \(\widehat{HAC}=\widehat{ABC}\) (cùng phụ với \(\widehat{HAB}\)).
Do đó, \(\widehat{HMN}=\widehat{ABC}\).
Xét \(\Delta\) KAN và \(\Delta\)ACB, ta có:
\(\widehat{KAN}\) chung.
\(\widehat{ANK}=\widehat{ABC}\)
Vậy, \(\Delta\)KAN \(\sim\)\(\Delta\)ACB (g.g).
