1: ΔABC vuông tại A
=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)
=>\(AC^2=15^2-9^2=144=12^2\)
=>AC=12(cm)
Xét ΔABC vuông tại A có \(sinB=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{12}{15}=\dfrac{4}{5}\)
nên \(\widehat{B}\simeq53^0\)
Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao
nên \(BH\cdot BC=BA^2\)
=>\(BH=\dfrac{9^2}{15}=5,4\left(cm\right)\)
2: Xét ΔHAB vuông tại H và ΔHCA vuông tại H có
\(\widehat{HAB}=\widehat{HCA}\left(=90^0-\widehat{HBA}\right)\)
Do đó: ΔHAB~ΔHCA
=>\(\dfrac{HA}{HC}=\dfrac{HB}{HA}\)
=>\(AH^2=HB\cdot HC\left(1\right)\)
Xét ΔAMH vuông tại M và ΔAHC vuông tại H có
\(\widehat{MAH}\) chung
Do đó: ΔAMH~ΔAHC
=>\(\dfrac{AM}{AH}=\dfrac{AH}{AC}\)
=>\(AH^2=AM\cdot AC\left(2\right)\)
Từ (1),(2) suy ra \(AM\cdot AC=HB\cdot HC\)
3:
Xét ΔAHC vuông tại H và ΔBAC vuông tại A có
\(\widehat{ACH}\) chung
Do đó: ΔAHC~ΔBAC
mà ΔAMH~ΔAHC
nên ΔAMH~ΔBAC
=>\(\dfrac{S_{AMH}}{S_{BAC}}=\left(\dfrac{AM}{BA}\right)^2=\left(\dfrac{AH^2}{AC\cdot AB}\right)^2=\left(\dfrac{AH^2}{AH\cdot BC}\right)^2=\left(\dfrac{AH}{BC}\right)^2\)
\(sin^2B\cdot cos^2B=\left(\dfrac{AH}{AB}\right)^2\cdot\left(\dfrac{AB}{BC}\right)^2=\dfrac{AH^2}{BC^2}=\left(\dfrac{AH}{BC}\right)^2\)
Do đó: \(\dfrac{S_{AMH}}{S_{ABC}}=sin^2B\cdot cos^2B\)
