1.
\(x^2+6x+8=\left(x^2+2x\right)+\left(4x+8\right)\)
\(=x\left(x+2\right)+4\left(x+2\right)=\left(x+2\right)\left(x+4\right)\)
Xét đa thức:
\(A=\left(b+c\right)^2\left(b-c\right)+\left(c+a\right)^2\left(c-a\right)+\left(a+b\right)^2\left(a-b\right)\) (1)
Ta thấy vai trò của a; b; c trong đa thức A là như nhau
Thay \(a=b\) ta được:
\(A=\left(b+c\right)^2\left(b-c\right)+\left(c+b\right)^2\left(c-b\right)+\left(b+b\right)^2\left(b-b\right)\)
\(=\left(b+c\right)^2\left(b-c\right)-\left(b+c\right)^2\left(b-c\right)+0=0\)
Do đó \(a-b\) là 1 nhân tử của A
Tương tự, thay \(b=c\) và \(c=a\) ta cũng được \(A=0\)
Nên \(b-c;c-a\) cũng là nhân tử của A
Do đó: \(A=k\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)\) (2)
Do A và \(\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)\) đều có bậc 3 nên k là hệ số thực
Thay \(a=0;b=1;c=2\) vào (1):
\(A=\left(1+2\right)^2.\left(1-2\right)+\left(2+0\right)^2.2+\left(0+1\right)^2.\left(-1\right)=-2\)
Thay \(a=0;b=1;c=2\) vào (2):
\(A=k.\left(0-1\right).\left(1-2\right).\left(2-0\right)=2k\)
\(\Rightarrow2k=-2\Rightarrow k=-1\)
Vậy \(A=-\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)=\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(a-c\right)\)
1b.
\(A=\left(\dfrac{x^2-2x-4}{2x^2-8}-\dfrac{x}{2x-x^2}\right)\left(1-\dfrac{4}{x^2}\right)\)
\(=\left(\dfrac{x^2-2x-4}{2\left(x-2\right)\left(x+2\right)}+\dfrac{x}{x\left(x-2\right)}\right)\left(\dfrac{x^2-4}{x^2}\right)\)
\(=\left(\dfrac{x\left(x^2-2x-4\right)+2x\left(x+2\right)}{2x\left(x-2\right)\left(x+2\right)}\right)\dfrac{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}{x^2}\)
\(=\left(\dfrac{x^3}{2x\left(x-2\right)\left(x+2\right)}\right)\dfrac{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}{x^2}\)
\(=\dfrac{x^3\left(x-2\right)\left(x+2\right)}{2x^3\left(x-2\right)\left(x+2\right)}=\dfrac{1}{2}\)
2a.
Đặt \(A=n^3+n+2\)
\(=\left(n^3+n^2\right)-\left(n^2+n\right)+2n+2\)
\(=n^2\left(n+1\right)-n\left(n+1\right)+2\left(n+1\right)\)
\(=\left(n+1\right)\left(n^2-n+2\right)\)
Do \(n\in\)N* \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}n+1\ge2\\n^2-n+2=n\left(n-1\right)+2\ge2\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow A\) có ít nhất 3 ước dương lớn hơn 1
\(\Rightarrow A\) là hợp số
2b.
\(9x^2+4y^2+8y=41\)
\(\Leftrightarrow9x^2+\left(4y^2+8y+4\right)=45\)
\(\Leftrightarrow9x^2+\left(2y+2\right)^2=45\)
\(\Leftrightarrow9x^2=45-\left(2y+2\right)^2\)
Do \(\left(2y+2\right)^2\ge0;\forall y\)
\(\Rightarrow9x^2\le45\)
\(\Rightarrow x^2\le5\)
\(\Rightarrow x^2\in\left\{0;1;4\right\}\)
- Với \(x^2=0\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2=0\\\left(2y+2\right)^2=45\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\) Ko tồn tại x;y nguyên thỏa mãn do 45 ko phải SCP
- Với \(x^2=1\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2=1\\\left(2y+2\right)^2=36\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left(x;y\right)=\left(-1;-4\right);\left(-1;2\right);\left(1;-4\right);\left(1;2\right)\)
- Với \(x^2=4\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2=4\\\left(2y+2\right)^2=9\end{matrix}\right.\)
Ko tồn tại x;y nguyên thỏa mãn do \(\left(2y+2\right)^2\) luôn chẵn còn 9 lẻ
Vậy ...
2c.
\(g\left(x\right)=x^2+3x+2=\left(x+1\right)\left(x+2\right)\)
Do f(x) bậc 3 và g(x) bậc 2, đồng thời f(x) chia hết g(x) nên:
\(f\left(x\right)=g\left(x\right).h\left(x\right)\) với \(h\left(x\right)\) là đa thức có bậc tối đa là 1
\(\Rightarrow ax^3+bx^2-3x+2=\left(x+1\right)\left(x+2\right).h\left(x\right)\) (1)
Thay \(x=-1\) vào (1):
\(-a+b+3+2=0.\left(x+2\right).h\left(x\right)\)
\(\Rightarrow-a+b+5=0\) (2)
Thay \(x=-2\) vào (1):
\(-8a+4b+6+2=\left(x+1\right).0.h\left(x\right)\)
\(\Rightarrow-8a+4b+8=0\)
\(\Rightarrow2a-b-2=0\) (3)
Cộng vế (2) và (3):
\(a+3=0\Rightarrow a=-3\)
Thay vào (2) \(\Rightarrow3+b+5=0\Rightarrow b=-8\)
Vậy \(\left\{{}\begin{matrix}a=-3\\b=-8\end{matrix}\right.\)
3a.
\(a+b+c=0\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=-c\\b+c=-a\\c+a=-b\end{matrix}\right.\)
\(P=\dfrac{1}{b^2+\left(c+a\right)\left(c-a\right)}+\dfrac{1}{c^2+\left(a+b\right)\left(a-b\right)}+\dfrac{1}{a^2+\left(b+c\right)\left(b-c\right)}\)
\(=\dfrac{1}{b^2+\left(-b\right)\left(c-a\right)}+\dfrac{1}{c^2+\left(-c\right).\left(a-b\right)}+\dfrac{1}{a^2+\left(-a\right)\left(b-c\right)}\)
\(=\dfrac{1}{b\left(b+a-c\right)}+\dfrac{1}{c\left(c+b-a\right)}+\dfrac{1}{a\left(a+c-b\right)}\)
\(=\dfrac{1}{b\left(-c-c\right)}+\dfrac{1}{c\left(-a-a\right)}+\dfrac{1}{a\left(-b-b\right)}\)
\(=\dfrac{-1}{2bc}+\dfrac{-1}{2ca}+\dfrac{-1}{2ab}\)
\(=\dfrac{-\left(a+b+c\right)}{2abc}=\dfrac{-0}{2abc}\)
\(=0\)
3b.
Áp dụng BĐT Cô-si:
\(x^{2024}+1+1+...+1\ge1012.\sqrt[1012]{x^{2024}.1.1...1}=1012x^2\) (1011 số 1)
\(\Leftrightarrow x^{2024}+1011\ge1012x^2\)
Tương tự:
\(y^{2024}+1011\ge1012y^2\)
\(z^{2024}+1011\ge1012z^2\)
Cộng vế:
\(x^{2024}+y^{2024}+z^{2024}+3033\ge1022\left(x^2+y^2+z^2\right)\)
\(\Leftrightarrow1012\left(x^2+y^2+z^2\right)\le3+3033\)
\(\Leftrightarrow1012\left(x^2+y^2+z^2\right)\le3036\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\le3\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\)
