Câu 4:
a:
AM là phân giác của góc BAC
=>\(\widehat{BAM}=\widehat{CAM}=\dfrac{\widehat{BAC}}{2}=45^0\)
Xét ΔBHA vuông tại H và ΔBEM vuông tại E có
\(\widehat{HBA}\) chung
Do đó: ΔBHA~ΔBEM
=>\(\dfrac{BH}{BE}=\dfrac{BA}{BM}\)
=>\(\dfrac{BH}{BA}=\dfrac{BE}{BM}\)
=>\(BH\cdot BM=BA\cdot BE\)
Xét ΔBHE và ΔBAM có
\(\dfrac{BH}{BA}=\dfrac{BE}{BM}\)
\(\widehat{HBE}\) chung
Do đó: ΔBHE~ΔBAM
=>\(\widehat{BHE}=\widehat{BAM}=45^0\)
=>\(\widehat{BHE}=\dfrac{1}{2}\cdot\widehat{BHA}\)
=>HE là phân giác của góc AHB
b: Xét ΔCFM vuông tại F và ΔCHA vuông tại H có
\(\widehat{FCM}\) chung
Do đó: ΔCFM~ΔCHA
=>\(\dfrac{CF}{CH}=\dfrac{CM}{CA}\)
=>\(\dfrac{CF}{CM}=\dfrac{CH}{CA}\)
Xét ΔCFH và ΔCMA có
\(\dfrac{CF}{CM}=\dfrac{CH}{CA}\)
\(\widehat{FCH}\) chung
Do đó: ΔCFH~ΔCMA
=>\(\widehat{CHF}=\widehat{CAM}=45^0\)
=>HF là phân giác của góc AHC
Xét ΔAHC có HF là đường phân giác
nên \(\dfrac{CF}{CH}=\dfrac{FA}{AH}\left(1\right)\)
Xét ΔAHB có HE là phân giác
nên \(\dfrac{BE}{HB}=\dfrac{EA}{AH}\left(2\right)\)
Xét tứ giác AEMF có
\(\widehat{AEM}=\widehat{AFM}=\widehat{FAE}=90^0\)
nên AEMF là hình chữ nhật
Hình chữ nhật AEMF có AM là phân giác của góc FAE
nên AEMF là hình vuông
=>AF=AE(3)
Từ (1),(2),(3) suy ra \(\dfrac{CF}{CH}=\dfrac{BE}{HB}\)
=>\(\dfrac{HB}{HC}=\dfrac{BE}{CF}\)
