a: Xét tứ giác AHKC có
I là trung điểm chung của AK và HC
=>AHKC là hình bình hành
=>HK//AC
b: Ta có: HM\(\perp\)AB
AC\(\perp\)AB
Do đó: HM//AC
mà HK//AC
và HM,HK có điểm chung là H
nên H,M,K thẳng hàng
Xét tứ giác AMHN có \(\widehat{AMH}=\widehat{ANH}=\widehat{MAN}=90^0\)
nên AMHN là hình chữ nhật
=>\(\widehat{NMH}=\widehat{NAH}=\widehat{CAH}\)
mà \(\widehat{CAH}=\widehat{CKH}\)(CAHK là hình bình hành)
nên \(\widehat{CKM}=\widehat{NMK}\)
Xét tứ giác CNMK có
CN//MK
\(\widehat{CKM}=\widehat{NMK}\)
Do đó: CNMK là hình thang cân
c: Ta có: AMHN là hình chữ nhật
=>AH cắt MN tại trung điểm của mỗi đường
=>O là trung điểm chung của AH và MN
Xét ΔCAH có
CO,AI là các đường trung tuyến
CO cắt AI tại D
Do đó: D là trọng tâm của ΔCAH
=>\(AD=\dfrac{2}{3}AI=\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot AK=\dfrac{1}{3}AK\)
=>AK=3AD
