a.
Do ABCD là hình thang cân nên: \(\widehat{DAB}=\widehat{CBA}\)
Mà \(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{DAB}+\widehat{OAB}=180^0\\\widehat{CBA}+\widehat{OBA}=180^0\end{matrix}\right.\) (kề bù)
\(\Rightarrow\widehat{OAB}=\widehat{OBA}\)
\(\Rightarrow\Delta OAB\) cân tại O
b.
Từ câu a ta suy ra \(OA=OB\) (1)
Mà ABCD là hình thang cân nên: \(AD=BC\)
\(\Rightarrow OA+AD=OB+BC\)
\(\Rightarrow OD=OC\) (2)
Xét hai tam giác OBD và OAC có:
\(\left\{{}\begin{matrix}OB=OA\left(cmt\right)\\\widehat{O}-chung\\OD=OC\left(cmt\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\Delta OBD=\Delta OAC\left(c.g.c\right)\)
c.
Xét hai tam giác ABD và BAC có:
\(\left\{{}\begin{matrix}AB-chung\\\widehat{DAB}=\widehat{CBA}\\AD=BC\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\Delta ABD=\Delta BAC\left(c.g.c\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{BDA}=\widehat{ACB}\) hay \(\widehat{IDA}=\widehat{ICB}\)
Mà ABCD là hình thang cân \(\Rightarrow\widehat{D}=\widehat{C}\)
\(\Rightarrow\widehat{D}-\widehat{BDA}=\widehat{C}-\widehat{ACB}\)
\(\Rightarrow\widehat{IDC}=\widehat{ICD}\)
\(\Rightarrow\Delta ICD\) cân tại I
\(\Rightarrow ID=IC\) (3)
Xét hai tam giác IAD và IBC có:
\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{AID}=\widehat{BIC}\left(\text{đối đỉnh}\right)\\ID=IC\left(cmt\right)\\\widehat{IDA}=\widehat{ICB}\left(cmt\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\Delta IAD=\Delta IBC\left(g.c.g\right)\)
d.
Do ABCD là hình thang cân \(\Rightarrow AC=BD\)
Mà theo cm trên: \(ID=IC\)
\(\Rightarrow AC-IC=BD-ID\)
\(\Rightarrow IA=IB\) (4)
(1);(4) \(\Rightarrow OI\) là trung trực của AB
(2);(3) \(\Rightarrow OI\) là trung trực của CD
