Bài 2
Xét \(\Delta ACD\) và \(\Delta BDC\) có
\(AD=BC\) (hình thang ABCD cân)
\(\widehat{ADC}=\widehat{BCD}\)
\(DC\) chung
\(\Rightarrow\Delta ACD=\Delta BDC\left(c.g.c\right)\)
\(\Leftrightarrow\widehat{ACD}=\widehat{BDC}\) (hai góc tương ứng)
\(\Leftrightarrow\Delta ODC\) cân tại O
\(\Leftrightarrow OD=OC\) (1)
Vì \(\Delta ACD=\Delta BDC\)
\(\Rightarrow AC=BD\\ \Leftrightarrow OA+OC=OB+OD\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow OA=OB\)
Vậy \(\left\{{}\begin{matrix}OA=OB\\OC=OD\end{matrix}\right.\left(đpcm\right)\)
Bài 3
Vì AB // CD (hình thang ABCD cân)
\(\Rightarrow\widehat{ABD}=\widehat{BDC}\) (so le trong)
mà \(\widehat{BDC}=\widehat{ADB}\) (DB là tia phân giác góc D)
\(\Rightarrow\widehat{ABD}=\widehat{ADB}\)
\(\Rightarrow\Delta ABD\) cân tại A
\(\Leftrightarrow AB=AD=BC=3\left(cm\right)\)
Từ B, kẻ đường thẳng song song với AD cắt CD tại E
Có \(\left\{{}\begin{matrix}ABED.là.hình.bình.hành\\AB=AD\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow ABED.là.hình.thoi\)
\(\Leftrightarrow BE=ED=DA=3\left(cm\right)\)
\(\Rightarrow BE=BC\\ \Leftrightarrow\Delta BEC.cân.tại.B\left(1\right)\)
có \(\widehat{C}=60^o\) (do \(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{C}+\widehat{BDC}=90^o\\\widehat{BDC}=\dfrac{1}{2}\widehat{ADC}\\\widehat{ADC}=\widehat{C}\end{matrix}\right.\) ) (2)
Từ (1) và (2)
\(\Rightarrow\Delta BEC.đều\)
\(\Rightarrow CE=BC=BE=3\left(cm\right)\)
Chu vi hình thang cân ABCD là
\(AB+BC+CD+DA=AB+BC+CE+ED+DA=3.5=15\left(cm\right)\)
(vì \(CD=CE+ED\))
