Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Bruh
Nguyễn Việt Lâm
6 tháng 8 2024 lúc 22:35

7.

\(P=\left(x+y\right)^2+\dfrac{3}{x+y}+6y^2\ge\left(x+y\right)^2+\dfrac{3}{x+y}\)

\(P\ge\dfrac{\left(x+y\right)^2}{18}+\dfrac{3}{2\left(x+y\right)}+\dfrac{3}{2\left(x+y\right)}+\dfrac{17}{18}.\left(x+y\right)^2\)

\(P\ge3\sqrt[3]{\dfrac{9\left(x+y\right)^2}{18.2.2.\left(x+y\right)^2}}+\dfrac{17}{18}.3^2=10\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left(x;y\right)=\left(3;0\right)\)

Nguyễn Việt Lâm
6 tháng 8 2024 lúc 22:42

8.

\(xy+4yz+5zx\ge190xyz\Leftrightarrow\dfrac{4}{x}+\dfrac{5}{y}+\dfrac{1}{z}\ge190\)

Đặt \(\left(\dfrac{1}{\sqrt{x}};\dfrac{1}{\sqrt{y}};\dfrac{1}{\sqrt[]{z}}\right)=\left(a;b;c\right)\Rightarrow4a^2+5b^2+c^2\ge190\)

Gọi vế trái BĐT cần chứng minh là P

Ta có:

\(P=a^3+b^3+c^3\)

Áp dụng AM-GM:

\(a^3+a^3+64\ge3\sqrt[3]{64a^6}=12a^2\)

\(b^3+b^3+125\ge3\sqrt[3]{125b^6}=15b^2\)

\(c^3+c^3+1\ge3\sqrt[3]{c^6}=3c^2\)

Cộng vế:

\(2\left(a^3+b^3+c^3\right)+190\ge3\left(4a^2+5b^2+c^2\right)\ge3.190=570\)

\(\Rightarrow P\ge\dfrac{570-190}{2}=190\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left(a;b;c\right)=\left(4;5;1\right)\) hay \(\left(x;y;z\right)=\left(\dfrac{1}{16};\dfrac{1}{25};1\right)\)


Các câu hỏi tương tự
hello
Xem chi tiết
Nguyễn Thanh Huyền
Xem chi tiết
Trang Lương
Xem chi tiết
Tho Vo
Xem chi tiết
huy dương
Xem chi tiết
Trần Ngọc Liên
Xem chi tiết
duong hong anh
Xem chi tiết
Thùy Linh
Xem chi tiết
nguyễn Ngọc Thùy Dương
Xem chi tiết
Uzumaki Naruto
Xem chi tiết