Bài 4:
a) Gọi K là trung điểm BC. Dễ thấy MK là đường trung bình của hình thang ABCD. Khi đó \(MK=\dfrac{1}{2}\left(AB+CD\right)\).
Mặt khác \(MK=\dfrac{1}{2}BC\) vì MK là trung tuyến của △BMC vuông tại M.
\(\Rightarrow AB+CD=BC\)
b) Ta có: \(S_{ABM}+S_{CDM}+S_{BMC}=S_{ABCD}\)
\(\Rightarrow AM.AB+DM.DC+MH.BC=\left(AB+CD\right)AD\)
\(\Rightarrow MH.BC+AM\left(AB+AD\right)=AD\left(AB+CD\right)\)
\(\Rightarrow MH.BC=AM\left(AB+CD\right)\Rightarrow MH=AM=MD\)
\(\Rightarrow\Delta DMH=\Delta CMH\left(ch-cgv\right)\)
=>MC là trung trực của DH nên DH⊥MC.
Mà MB⊥MC =>DH//MB =>đpcm.
P/s: nếu em lên lớp 9 có học về tứ giác nội tiếp với hệ thức lượng trong tam giác vuông (mà không biết chương trình mới còn không), thì làm bài này 2 dòng ;)
Bài 3:
Gọi E,F,G,H,I,J lần lượt là trung điểm của AC,BD,AD,BC,AB,CD.
Dễ dàng chứng minh IGJH, IEJF, EHFG là hình bình hành. Kết hợp giả thiết đề bài, ta cũng chứng minh được IGJH, IEJF là hình thoi.
\(\Rightarrow IJ\perp EF;IJ\perp GH\) =>EF//GH.
Để ý EHFG là hình bình hành nên EF và HG cắt nhau tại trung điểm của chúng.
\(\Rightarrow\)Đường thẳng EF và GH trùng nhau, hay E,F,G,H thẳng hàng.
Mà GF//AB; FH//CD =>AB//CD nên ABCD là hình thang.
Mà AC=BD nên ABCD là hình thang cân (đpcm).
