a: ab(a-b)+bc(b-c)+ca(c-a)
\(=a^2b-ab^2+b^2c-bc^2+c^2a-ca^2\)
\(=\left(a^2b-a^2c\right)+\left(b^2c-bc^2\right)+\left(-ab^2+ac^2\right)\)
\(=a^2\left(b-c\right)+bc\left(b-c\right)-a\left(b-c\right)\left(b+c\right)\)
\(=\left(b-c\right)\left(a^2+bc-ab-ac\right)\)
\(=\left(b-c\right)\left[a\left(a-b\right)-c\left(a-b\right)\right]\)
=(b-c)(a-b)(a-c)
b: \(\left(a+b+c\right)^3-a^3-b^3-c^3\)
\(=\left(a+b+c-a\right)\left[\left(a+b+c\right)^2+a\left(a+b+c\right)+a^2\right]-\left(b+c\right)\left(b^2-bc+c^2\right)\)
\(=\left(b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc+a^2+ab+ac+a^2-b^2+bc-c^2\right)\)
\(=\left(b+c\right)\left(3a^2+3ab+3ac+3bc\right)\)
\(=3\left(b+c\right)\left(a^2+ab+ac+bc\right)\)
\(=3\left(b+c\right)\left[a\left(a+b\right)+c\left(a+b\right)\right]=3\left(b+c\right)\left(a+b\right)\left(a+c\right)\)
c: \(4a^2b^2-\left(a^2+b^2-c^2\right)^2\)
\(=\left[2ab-\left(a^2+b^2-c^2\right)\right]\left[2ab+a^2+b^2-c^2\right]\)
\(=\left[c^2-\left(a^2-2ab+b^2\right)\right]\left[\left(a^2+2ba+b^2\right)-c^2\right]\)
\(=\left[c^2-\left(a-b\right)^2\right]\left[\left(a+b\right)^2-c^2\right]\)
=(c-a+b)(c+a-b)(a+b-c)(a+b+c)
