Bài 4:
a: Xét ΔHFB vuông tại F và ΔHEC vuông tại E có
\(\widehat{FHB}=\widehat{EHC}\)(hai góc đối đỉnh)
Do đó: ΔHFB~ΔHEC
b: Xét ΔHEA vuông tại E và ΔHDB vuông tại D có
\(\widehat{EHA}=\widehat{DHB}\)(hai góc đối đỉnh)
Do đó;ΔHEA~ΔHDB
=>\(\dfrac{HE}{HD}=\dfrac{HA}{HB}\)
=>\(HE\cdot HB=HA\cdot HD\left(1\right)\)
ΔHFB~ΔHEC
=>\(\dfrac{HF}{HE}=\dfrac{HB}{HC}\)
=>\(HF\cdot HC=HB\cdot HE\)(2)
Từ (1),(2) suy ra \(HA\cdot HD=HB\cdot HE=HF\cdot HC\)
c: Xét tứ giác AFHE có \(\widehat{AFH}+\widehat{AEH}=90^0+90^0=180^0\)
nên AFHE là tứ giác nội tiếp
Xét tứ giác CEHD có \(\widehat{CEH}+\widehat{CDH}=90^0+90^0=180^0\)
nên CEHD là tứ giác nội tiếp
Ta có: \(\widehat{FEH}=\widehat{FAH}\)(AEHF nội tiếp)
\(\widehat{DEH}=\widehat{DCH}\)(CEHD nội tiếp)
mà \(\widehat{FAH}=\widehat{DCH}\left(=90^0-\widehat{ABD}\right)\)
nên \(\widehat{FEH}=\widehat{DEH}\)
=>EH là phân giác của góc DEF
Bài 5:
a: Xét ΔANB vuông tại N và ΔAPC vuông tại P có
\(\widehat{NAB}\) chung
Do đó: ΔANB~ΔAPC
=>\(\dfrac{AN}{AP}=\dfrac{AB}{AC}\)
=>\(\dfrac{AN}{AB}=\dfrac{AP}{AC}\)
=>\(AN\cdot AC=AP\cdot AB\)
b: Xét ΔANP và ΔABC có
\(\dfrac{AN}{AB}=\dfrac{AP}{AC}\)
\(\widehat{NAP}\) chung
Do đó: ΔANP~ΔABC
