a: Xét ΔABC có AD là phân giác
nên \(\dfrac{BD}{CD}=\dfrac{AB}{AC}\)
=>\(BD\cdot AC=AB\cdot CD\)
Xét ΔBCI có
CA,ID là các đường cao
CA cắt ID tại E
Do đó: E là trực tâm của ΔBCI
=>BE\(\perp\)CI
b: Xét tứ giác EDBA có \(\widehat{EDB}+\widehat{EAB}=90^0+90^0=180^0\)
nên EDBA là tứ giác nội tiếp
=>\(\widehat{EBD}=\widehat{EAD}\)
Ta có: EDBA là tứ giác nội tiếp
=>\(\widehat{AEB}=\widehat{ADB}\)
Ta có: \(\widehat{AEB}+\widehat{CEB}=180^0\)(hai góc kề bù)
\(\widehat{ADB}+\widehat{ADC}=180^0\)(hai góc kề bù)
mà \(\widehat{AEB}=\widehat{ADB}\)
nên \(\widehat{CEB}=\widehat{ADC}\)
Xét ΔDAC và ΔEBC có
\(\widehat{ADC}=\widehat{BEC}\)
\(\widehat{DAC}=\widehat{EBC}\)
Do đó: ΔDAC~ΔEBC
=>\(\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{DA}{BE}\)
=>\(AC\cdot BE=DA\cdot BC\)
c: Ta có: AD là phân giác của góc BAC
=>\(\widehat{BAD}=\widehat{CAD}=\dfrac{\widehat{BAC}}{2}=45^0\)
Ta có: ABDE là tứ giác nội tiếp
=>\(\widehat{DBE}=\widehat{DAE};\widehat{DEB}=\widehat{DAB}\)
mà \(\widehat{DAE}=\widehat{DAB}\)
nên \(\widehat{DBE}=\widehat{DEB}\)
=>DB=DE
