bài 10:
a: Gọi O là giao điểm của AC và BD
ABCD là hình bình hành
=>AC cắt BD tại trung điểm của mỗi đường
=>O là trung điểm chung của AC và BD
Xét ΔADB có
AO,DM là các đường trung tuyến
AO cắt DM tại G
Do đó: G là trọng tâm của ΔABD
b: Xét ΔADB có
AO là đường trung tuyến
G là trọng tâm
Do đó: \(AG=\dfrac{2}{3}\cdot AO=\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot AC=\dfrac{1}{3}AC\)
AG+GC=AC
=>\(GC+\dfrac{1}{3}AC=AC\)
=>\(GC=\dfrac{2}{3}AC\)
mà \(AG=\dfrac{1}{3}AC\)
nên \(\dfrac{CG}{GA}=\dfrac{\dfrac{2}{3}AC}{\dfrac{1}{3}AC}=\dfrac{2}{3}:\dfrac{1}{3}=2\)
=>GC=2GA
c: Xét ΔGAI và ΔGCK có
\(\widehat{GAI}=\widehat{GCK}\)(hai góc so le trong, AI//CK)
\(\widehat{AGI}=\widehat{CGK}\)(hai góc đối đỉnh)
Do đó: ΔGAI đồng dạng với ΔGCK
=>\(\dfrac{GI}{GK}=\dfrac{GA}{GC}=\dfrac{1}{2}\left(1\right)\)
Xét ΔAEG và ΔCFG có
\(\widehat{GAE}=\widehat{GCF}\)(hai góc so le trong, AE//CF)
\(\widehat{AGE}=\widehat{CGF}\)(hai góc đối đỉnh)
Do đó; ΔAEG đồng dạng với ΔCFG
=>\(\dfrac{GA}{GC}=\dfrac{GE}{GF}=\dfrac{1}{2}\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) suy ra \(\dfrac{GI}{GK}=\dfrac{GE}{GF}\)
Xét ΔIGE và ΔKGF có
\(\dfrac{GI}{GK}=\dfrac{GE}{GF}\)
\(\widehat{IGE}=\widehat{KGF}\)(hai góc đối đỉnh)
Do đó: ΔIGE đồng dạng với ΔKGF
=>\(\widehat{GIE}=\widehat{GKF}\)
mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong
nên EI//FK
