a: Gọi O là giao điểm của AC và BD
ABCD là hình bình hành
=>AC cắt BD tại trung điểm của mỗi đường
=>O là trung điểm chung của AC và BD
=>\(AO=OC=\dfrac{2}{3}AC;BO=OD=\dfrac{2}{3}BD\)
\(AE=EF=FC\)
\(AE+EF+FC=AC\)
Do đó: \(AE=EF=FC=\dfrac{AC}{3}\)
\(\dfrac{AE}{AO}=\dfrac{AC}{3}:\dfrac{AC}{2}=\dfrac{2}{3}\)
=>\(AE=\dfrac{2}{3}AO\)
Xét ΔABD có
AO là đường trung tuyến
\(AE=\dfrac{2}{3}AO\)
Do đó: E là trọng tâm của ΔABD
=>DE cắt AB tại trung điểm của AB
=>N là trung điểm của AB
\(CF=\dfrac{CA}{3}\)
\(CO=\dfrac{CA}{2}\)
Do đó: \(\dfrac{CF}{CO}=\dfrac{CA}{3}:\dfrac{CA}{2}=\dfrac{2}{3}\)
=>\(CF=\dfrac{2}{3}CO\)
Xét ΔCBD có
CO là đường trung tuyến
\(CF=\dfrac{2}{3}CO\)
Do đó:F là trọng tâm của ΔCBD
=>BF cắt DC tại trung điểm của DC
=>M là trung điểm của DC
b: N là trung điểm của AB
=>\(AN=NB=\dfrac{AB}{2}\left(1\right)\)
M là trung điểm của CD
=>\(MC=MD=\dfrac{DC}{2}\left(2\right)\)
ABCD là hình bình hành
=>AB=CD(3)
Từ (1),(2),(3) suy ra AN=CM=NB=DM
Xét ΔNAE và ΔMCF có
NA=MC
\(\widehat{NAE}=\widehat{MCF}\)(hai góc so le trong, AN//CM)
AE=CF
Do đó: ΔNAE=ΔMCF
=>NE=MF
Xét tứ giác BNDM có
BN//DM
BN=DM
Do đó: BNDM là hình bình hành
=>ND//BM
=>NE//MF
Xét tứ giác EMFN có
EN//MF
EN=MF
Do đó: EMFN là hình bình hành
