a: Ta có: ABCD là hình bình hành
=>AB=CD(1)
E là trung điểm của AB
=>\(AE=EB=\dfrac{AB}{2}\left(2\right)\)
Ta có: F là trung điểm của CD
=>\(FD=FC=\dfrac{CD}{2}\left(3\right)\)
Từ (1),(2),(3) suy ra AE=EB=FD=FC
Xét tứ giác BEDF có
BE//DF
BE=DF
Do đó: BEDF là hình bình hành
b:
ta có: BEDF là hình bình hành
=>\(\widehat{BED}=\widehat{BFD}\)
ta có: \(\widehat{BED}+\widehat{AED}=180^0\)(hai góc kề bù)
\(\widehat{BFD}+\widehat{CFB}=180^0\)(hai góc kề bù)
mà \(\widehat{BED}=\widehat{BFD}\)
nên \(\widehat{AED}=\widehat{CFB}\)
Xét ΔAME và ΔCNF có
\(\widehat{AEM}=\widehat{CFB}\)(cmt)
AE=CF
\(\widehat{EAM}=\widehat{FCN}\)(hai góc so le trong, AE//CF)
Do đó: ΔAME=ΔCNF
=>AM=CN
Ta có: BEDF là hình bình hành
=>DE//BF
mà \(M\in DE;N\in\)BF
nên ME//NF
Xét ΔANB có
E là trung điểm của AB
EM//NB
Do đó: M là trung điểm của AN
=>AM=MN
mà AM=NC
nên AM=MN=NC
Gọi O là giao điểm chung của AC và BD
Ta có: ABCD là hình bình hành
=>AC cắt BD tại trung điểm của mỗi đường
=>O là trung điểm chung của AC và BD
Xét ΔABD có
AO,DE là các đường trung tuyến
AO cắt DE tại M
Do đó: M là trọng tâm của ΔABD
Xét ΔABD có
M là trọng tâm của ΔABD
DE là đường trung tuyến
Do đó: \(ME=\dfrac{1}{3}ED\)
mà ED=BF
nên \(ME=\dfrac{1}{3}BF\)
