a) - Qua N dựng đường thẳng song song với AB cắt BC tại D.
- BC cắt MN tại I.
- Có: \(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{ABC}=\widehat{CDN}\\\widehat{ACB}=\widehat{NCD}\\\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\end{matrix}\right.\Rightarrow\widehat{CDN}=\widehat{NCD}\)
\(\Rightarrow\Delta CDN\) cân tại N.
\(\Rightarrow NC=ND=BM\).
- \(\Delta BMI\) và \(\Delta DNI\) có:
\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{BMI}=\widehat{DNI}\\BM=DN\\\widehat{BIM}=\widehat{DIN}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\Delta BMI=\Delta DNI\left(g-c-g\right)\)
\(\Rightarrow MI=NI\Rightarrow\)I là trung điểm MN.
- Vậy BC đi qua trung điểm MN.
b) \(\Delta CND\) cân tại N có: NK là đường cao.
\(\Rightarrow NK\) cũng là trung tuyến.
\(\Rightarrow CK=DK\left(1\right)\).
- \(\Delta MHB\) và \(\Delta NKD\) có:
\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{MHB}=\widehat{NKD}=90^0\\BM=DN\\\widehat{MBH}=\widehat{NDK}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\Delta MHB=\Delta NKD\left(ch-gn\right)\)
\(\Rightarrow BH=DK\left(2\right)\)
(1)(2) \(\Rightarrow BH=CK\)
\(HK=HK+BH-CK=BK-CK=BC\) không đổi.
