a: Xét ΔBAI vuông tại A và ΔBDI vuông tại D có
BI chung
\(\widehat{ABI}=\widehat{DBI}\)
Do đó: ΔBAI=ΔBDI
b: Ta có: ΔBAI=ΔBDI
nên BA=BD; IA=ID
=>BI là đường trung trực của AD
\(\text{a)Xét }\Delta AIB\text{ và }\Delta DIB\text{ có:}\)
\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{ABI}=\widehat{DBI}\left(BI\text{ là phân giác }\widehat{B}\right)\\\widehat{BAI}=\widehat{BDI}=90^0\left(gt\right)\\BI\text{ chung}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\Delta AIB=\Delta DIB\left(ch-gn\right)\)
\(\text{b)Gọi O là giao điểm BI và AD}\)
\(\text{Xét }\Delta ABO\text{ và }\Delta DBO\text{ có:}\)
\(\left\{{}\begin{matrix}BO\text{ chung}\\\widehat{ABO}=\widehat{DBO}\left(BI\text{ là phân giác }\widehat{B}\right)\\AB=DB\left(\Delta AIB=\Delta DIB\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\Delta ABO=\Delta DBO\left(c-g-c\right)\)
\(\Rightarrow AO=DO\left(\text{hai cạnh tương ứng}\right)\left(1\right)\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\widehat{BOA}=\widehat{BOD}\left(\text{hai góc tương ứng}\right)\\\text{Mà chúng kề bù}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\widehat{BOA}=\widehat{BOD}=\dfrac{180^0}{2}=90^0\)
\(\Rightarrow BI\perp AD\left(2\right)\)
\(\text{Từ (1) và (2)}\)
\(\Rightarrow\text{BI là đường trung trực của AD}\)
\(\text{c)Gọi F là giao điểm của BI và EC}\)
\(\text{Xét }\Delta AIE\text{ và }\Delta DIC\text{ có:}\)
\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{AIE}=\widehat{DIC}\left(\text{đối đỉnh}\right)\\AI=DI\left(\Delta AIB=\Delta DIB\right)\\\widehat{EAI}=\widehat{CDI}=90^0\left(gt\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\Delta AIE=\Delta DIC\left(g-c-g\right)\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}AE=DC\left(\text{Hai cạnh tương ứng}\right)\\\text{Mà AB=DB}\left(\Delta AIB=\Delta DIB\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}AB+AE=BE\\DB+DC=BC\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow BE=BC\)
\(\text{Xét }\Delta EBF\text{ và }\Delta CBF\text{ có:}\)
\(\left\{{}\begin{matrix}BF\text{ chung}\\BE=BC\left(cmt\right)\\\widehat{EBF}=\widehat{CBF}\left(BI\text{ là phân giác }\widehat{B}\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\widehat{BFE}=\widehat{BFC}\\\text{Mà chúng kề bù}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\widehat{BFE}=\widehat{BFC}=\dfrac{180^0}{2}=90^0\)
\(\Rightarrow BI\perp EC\)
