a: AK=KI=IH
mà AK+KI+IH=AH
nên \(AK=KI=IH=\frac{AH}{3}\)
AI=AK+KI=2*AH/3
Xét ΔABH có MK//BH
nên \(\frac{AM}{AB}=\frac{MK}{BH}=\frac{AK}{AH}=\frac13\)
Xét ΔABH có EI//BH
nên \(\frac{EI}{BH}=\frac{AE}{AB}=\frac{AI}{AH}=\frac23\)
Xét ΔABC có MN//BC
nên \(\frac{AM}{AB}=\frac{MN}{BC}\)
=>\(\frac{MN}{BC}=\frac13\)
=>\(MN=\frac{15}{3}=5\left(\operatorname{cm}\right)\)
Xét ΔABC có EF//BC
nên \(\frac{EF}{BC}=\frac{AE}{AB}=\frac23\)
=>\(EF=15\cdot\frac23=10\left(\operatorname{cm}\right)\)
b: Xét ΔAEF và ΔABC có
\(\hat{AEF}=\hat{ABC}\) (hai góc đồng vị, EF//BC)
\(\hat{EAF}\) chung
Do đó: ΔAEF~ΔABC
=>\(\frac{S_{AEF}}{S_{ABC}}=\left(\frac{AE}{AB}\right)^2=\frac49\)
=>\(S_{AEF}=\frac49\cdot S_{ABC}=\frac49\cdot270=120\left(\operatorname{cm}^2\right)\)
Xét ΔAMN và ΔABC có
\(\hat{AMN}=\hat{ABC}\) (hai góc đồng vị, MN//BC)
\(\hat{MAN}\) chung
Do đó: ΔAMN~ΔABC
=>\(\frac{S_{AMN}}{S_{ABC}}=\left(\frac{AM}{AB}\right)^2=\frac19\)
=>\(S_{AMN}=270\times\frac19=30\left(\operatorname{cm}^2\right)\)
\(S_{AMN}+S_{MNFE}=S_{AEF}\)
=>\(S_{MNFE}=120-30=90\left(\operatorname{cm}^2\right)\)
