a) Xét tam giác ABC vuông cân tại A:
AH là đường cao (gt).
=> AH là đường trung tuyến (Tính chất tam giác cân).
=> AH = BH = HC = \(\dfrac{1}{2}\) BC (Tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông).
Xét tam giác AHB vuông tại H: AH = BH (cmt).
=> Tam giác AHB vuông cân tại H.
Mà HM là đường cao (HM \(\perp\) AB).
=> HM là đường trung tuyến (Tính chất tam giác cân).
=> HM = BM = MA = \(\dfrac{1}{2}\) AB (Tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông).
Xét tứ giác AMHN:
\(\widehat{A}=90^o\) (Tam giác ABC vuông cân tại A).
\(\widehat{AMH}=90^o\left(AM\perp MH\right).\)
\(\widehat{ANH}=90^o\left(AN\perp NH\right).\)
=> Tứ giác AMHN là hình chữ nhật (dhnb).
Mà MA = HM (cmt).
=> Tứ giác AMHN là hình vuông (dhnb).
b) Ta có: CF = 2AC (E đối xứng B qua A); EB = 2AB (F đối xứng C qua A).
Mà AB = AC (Tam giác ABC vuông cân tại A).
=> CF = EB.
Xét tứ giác BCEF:
A là trung điểm của EB (E đối xứng B qua A).
A là trung điểm của FC (F đối xứng C qua A).
=> Tứ giác BCEF là hình bình hành.
Mà \(CF\perp EB\left(\widehat{BAC}=90^o\right);CF=EB\left(cmt\right).\)
=> Tứ giác BCEF là hình vuông (dhnb).
