a: Sửa đề: I là trung điểm của AC
ΔABC cân tại A
mà AH là đường cao
nên H là trung điểm của BC và AH là phân giác của góc BAC
Xét tứ giác AHCD có
I là trung điểm chung của AC và HD
=>AHCD là hình bình hành
Hình bình hành AHCD có \(\hat{AHC}=90^0\)
nên AHCD là hình chữ nhật
b: AHCD là hình chữ nhật
=>AD//CH và AD=CH
AD//CH
=>AD//BH
AD=CH
CH=BH
Do đó: AD=BH
Xét tứ giác ADHB có
AD//HB
AD=HB
Do đó: ADHB là hình bình hành
c: Xét ΔABC có
E,H lần lượt là trung điểm của BA,BC
=>EH là đường trung bình của ΔABC
=>EH//AC và \(EH=\frac{AC}{2}\)
EH//AC
=>EH//AI
\(EH=\frac{AC}{2}\)
\(AI=IC=\frac{AC}{2}\)
Do đó: EH=AI=IC
Ta có: \(AE=EB=\frac{AB}{2}\)
\(AI=IC=\frac{AC}{2}\)
mà AB=AC
nên AE=EB=AI=IC
Xét tứ giác AEHI có
HE//AI
HE=AI
Do đó: AEHI là hình bình hành
Hình bình hành AEHI có AE=AI
nên AEHI là hình thoi
=>EI là đường trung trực của AH
=>A đối xứng H qua EI
d: Gọi O là giao điểm của AH và DB
ABHD là hình bình hành
=>AH cắt BD tại trung điểm của mỗi đường
=>O là trung điểm chung của AH và BD
Xét ΔAHD có
DO,AI là các đường trung tuyến
DO cắt AI tại F
Do đó: F là trọng tâm của ΔAHD
=>\(AF=\frac23AI=\frac23\cdot\frac12\cdot AC=\frac13AC\)
