Chương 3: PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH

\(x=0\) không là nghiệm của phương trình

Chia hai vế phương trình cho x, phương trình trở thành:

\(\left(x+\dfrac{4}{x}\right)+2-m=4\sqrt{x+\dfrac{4}{x}}\left(1\right)\)

Đặt \(x+\dfrac{4}{x}=t\left(t\ge2\right)\)

\(\left(1\right)\Leftrightarrow m=f\left(t\right)=t^2-4t+2\left(2\right)\)

Phương trình đã cho có nghiệm khi phương trình \(\left(2\right)\) có nghiệm \(t\ge2\)

\(\Leftrightarrow m\ge f\left(2\right)=-2\)

\(\Rightarrow\) có 2021 giá trị thỏa mãn yêu cầu bài toán

1)Tim cac gia tri cua m de phuong trinh (m² - 1)x + m+1 = 0 co nghiem duy nhat.

                                            Giải

- Để phương trình có nghiệm duy nhất thì a ≠0 <=> m^2-1≠0 

                                                                         <=>m≠1 và m≠-1

\(\dfrac{x_2}{x_1}=\dfrac{x_3}{x_2}=\dfrac{x_2+x_3}{x_1+x_2}=\dfrac{x_2+x_3}{3}\) (1)

\(\dfrac{x_3}{x_2}=\dfrac{x_4}{x_3}=\dfrac{x_3+x_4}{x_2+x_3}=\dfrac{12}{x_2+x_3}\)

\(\Rightarrow\dfrac{x_2+x_3}{3}=\dfrac{12}{x_2+x_3}\Rightarrow x_2+x_3=\pm6\)

Th1: \(x_2+x_3=6\) thế vào (1):

\(\dfrac{x_2}{x_1}=\dfrac{x_3}{x_2}=\dfrac{x_4}{x_3}=\dfrac{6}{3}=2\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_2=2x_1\\x_4=2x_3\end{matrix}\right.\)

Mà \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=3\\x_3+x_4=12\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}3x_1=3\\3x_3=12\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=1;x_2=2\\x_3=4;x_4=8\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow m=x_1x_2=2\)

Khỏi cần làm TH2 \(x_2+x_3=-6\) nữa, chọn luôn C

ĐKXĐ: \(x\ge-1\)

Đặt \(\sqrt{x+1}=t\ge0\Rightarrow x=t^2-1\)

Pt trở thành: \(2t=t^2-1+m\Leftrightarrow-t^2+2t+1=m\)

Xét hàm \(f\left(t\right)=-t^2+2t+1\) với \(t\ge0\)

\(-\dfrac{b}{2a}=1>0\) ; \(f\left(0\right)=1\) ; \(f\left(1\right)=2\)

\(\Rightarrow f\left(t\right)\le2\Rightarrow\) pt có nghiệm khi và chỉ khi \(m\le2\)

Theo định lí Viet \(x_1+x_2=\dfrac{-2^{2021}}{-1}=2^{2021}\)

Đặt \(T=\left|\sqrt{4x^2-12x+10}-\sqrt{4x^2+20x+74}\right|\)

\(T=\left|\sqrt{\left(2x-3\right)^2+1}-\sqrt{\left(2x+5\right)^2+7^2}\right|\)

Trong hệ tọa độ Oxy, xét \(M\left(2x;0\right);A\left(3;1\right);B\left(-5;7\right)\)

Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}AM=\sqrt{\left(2x-3\right)^2+1}\\BM=\sqrt{\left(2x+5\right)^2+7^2}\end{matrix}\right.\) ;  \(AB=\sqrt{8^2+6^2}=10\)

\(\Rightarrow T=\left|AM-BM\right|\le AB=10\)

\(\Rightarrow0\le T\le10\)

\(\Rightarrow\) Pt có nghiệm khi và chỉ khi \(0\le m\le10\)

Có 11 giá trị nguyên của m thỏa mãn

ĐKXĐ: ..

Từ pt đầu:

\(x^3-y^3+xy^2-x^2y+x-y=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)-xy\left(x-y\right)+x-y=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x^2+y^2+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x=y\)

Thế vào pt dưới:

\(\sqrt{x}+\sqrt{2x+1}=x^2-3x+1\)

\(\Leftrightarrow2x^2-8x+\left(x-2\sqrt{x}\right)\left(x+2-2\sqrt{2x+1}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow2\left(x^2-4x\right)+\dfrac{x^2-4x}{x+2\sqrt{x}}+\dfrac{x^2-4x}{x+2+2\sqrt{2x+1}}=0\)

\(\Leftrightarrow...\)

\(ĐKXĐ:-3\le x\le6\)

\(\sqrt{x+3}+\sqrt{6-x}=3+\sqrt{\left(x+3\right)\left(6-x\right)}\)

Đặt \(\sqrt{x+3}+\sqrt{6-x}=t\left(t>0\right)\)

\(\Rightarrow t^2=x+3+6-x+2\sqrt{\left(x+3\right)\left(x-6\right)}\)

\(\Rightarrow t^2=9+2\sqrt{\left(x+3\right)\left(x-6\right)}\)

\(\Rightarrow\sqrt{\left(x+3\right)\left(x-6\right)}=\dfrac{t^2-9}{2}\)  (1)

Từ (1); pttt :\(t=3+\dfrac{t^2-9}{2}\)

\(\Leftrightarrow2t=6+t^2-9\)

\(\Leftrightarrow t^2-2t-3=0\)

\(\Leftrightarrow\left(t-3\right)\left(t+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}t=3\left(tm\right)\\t=-1\left(ktm\right)\end{matrix}\right.\)

Thay t = 3 vào (1) , ta được :

\(\sqrt{\left(x+3\right)\left(6-x\right)}=\dfrac{3^2-9}{2}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(x+3\right)\left(6-x\right)}=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x+3=0\\6-x=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-3\left(tm\right)\\x=6\left(tm\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy ...