Cho một đường tròn cố định \(\left(C\right):x^2+y^2=1\) và một đường tròn thay đổi \(\left(C_m\right):x^2+y^2-2\left(m+1\right)x+4my-5=0\). Chứng minh rằng trục đẳng phương của \(\left(C\right)\) và \(\left(C_m\right)\) luôn đi qua một điểm cố định. tìm tọa độ điểm cố định đó.
(-2; 1) (2; -1) (2; 1) (-2; -1) Hướng dẫn giải:Nhắc lại rằng trục đẳng phương của hai đường tròn là đường thẳng đi qua hai giao điểm (nếu có) của hai đường tròn. Các giao điểm của hai đường tròn có tọa độ thỏa mãn hệ \(\left\{{}\begin{matrix}x^2+y^2=1\\x^2+y^2-2\left(m+1\right)y+4my-5=0\end{matrix}\right.\). Trừ hai phương trình theo vế ta được \(\left(m+1\right)x-2my+2=0\).
Trục đẳng phương có phương trình \(\left(m+1\right)x-2my+2=0\Leftrightarrow m\left(x-2y\right)+x+2=0\). Ta thấy điểm (-2; -1) có tọa độ luôn thỏa mãn phương trình với mọi m
Vậy trục đẳng phương luôn đi qua điểm cố định (-2;-1)
