Bài 1: Sự xác định đường tròn. Tính chất đối xứng của đường tròn

Do ABCD là hình thoi \(\Rightarrow\Delta BCD\) cân tại C

Mà \(C=60^0\Rightarrow\Delta BCD\) đều

Hoàn toàn tương tự, ta có tam giác ABD đều

\(\Rightarrow AB=BC=CD=DA=BD\) (1)

Gọi O là giao điểm 2 đường chéo \(\Rightarrow OA\perp OB\)

Trong tam giác vuông OAB, do E là trung điểm AB nên OE là trung tuyến ứng với cạnh huyền

\(\Rightarrow OE=\dfrac{1}{2}AB\) (2)

Mà O là trung điểm BD (tính chất hình thoi) \(\Rightarrow OB=\dfrac{1}{2}BD\) (3)

(1);(2);(3) \(\Rightarrow OE=OB\)

Hoàn toàn tương tự, ta có: 

\(OE=OB=OF=OG=OD=OH\)

\(\Rightarrow\) Các điểm E, B, F, G, D, H cùng thuộc 1 đường tròn tâm O bán kính OB

ABC cân tại A nên H đồng thời là trung điểm BC

\(\Rightarrow BH=CH=6\left(cm\right)\)

Trong tam giác vuông ABH:

\(AB=\sqrt{AH^2+BH^2}=2\sqrt{13}\)

Gọi D là trung điểm AB, qua D kẻ đường trung trực AB, kéo dài cắt AH tại O

\(\Rightarrow\) O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(\Rightarrow OA=R\)

\(AD=\dfrac{1}{2}AB=\sqrt{13}\)

Trong tam giác vuông ABH: \(cos\widehat{BAH}=\dfrac{AH}{AB}\)

Trong tam giác vuông ADO: \(cos\widehat{BAH}=\dfrac{AD}{AO}\)

\(\Rightarrow\dfrac{AH}{AB}=\dfrac{AD}{AO}\Rightarrow R=AO=\dfrac{AB.AD}{AH}=6,5\left(cm\right)\)

Xét ΔABD có AB=AD và góc BAD=60 độ

nên ΔABD đều

Ta có: ΔDAB cân tại D

mà DE là đường trung tuyến

nên DE vuông góc với BE

=>E nằm trên đường tròn đường kính BD(1)

Ta có:ΔBAD cân tại B

ma BH là đường trung tuyến

nên BH vuông góc với HD

=>H nằm trên đường tròn đường kính BD(2)

Xét ΔCBD có CB=CD và góc BCD=60 độ

nên ΔCBD đều

Ta có: ΔBDC cân tại D

mà DF là đường trung tuyến

nen DF vuông góc với BF

=>F nằm trên đường tròn đường kính BD(3)

Ta có: ΔBDC cân tại B

mà BG là đường trung tuyến

nên BG vuông góc với GD
=>G nằm trên đường tròn đường kính BD(4)

Từ (1), (2), (3) và (4) suy ra E,B,F,G,D,H cùng nằm trên 1 đường tròn

Lời giải:

Qua $P$ kẻ dây cung $AB$. Kẻ $OH\perp AB$ thì $H$ là trung điểm $AB$

Theo định lý Pitago:

$AB=2AH=2\sqrt{OA^2-OH^2}=2\sqrt{R^2-OH^2}$

$AB\leq 2\sqrt{R^2}=2R$. 

Vậy $AB_{\max}=2R$ khi $OH=0$ hay dây cung $AB$ đi qua điểm $O$ và $P$.

Lại có:
$AB=2\sqrt{R^2-OH^2}\geq 2\sqrt{R^2-OP^2}$

Vậy $AB_{\min}=2\sqrt{R^2-OP^2}$ khi $P\equiv H$ hay $P$ là trung điểm của dây cung $AB$.

Hình vẽ: