Câu 1.
Cho phương trình \( x^2 - (2m - 1)x + m^2 - 1 = 0 \) ( \( x \) là ẩn số )
a) Tìm điều kiện của \( m \) để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.
b) Định \( m \) để hai nghiệm \( x_1, x_2 \) của phương trình đã cho thỏa mãn: \( (x_1 - x_2)^2 = x_1 - 3x_2 \).
a) Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì: \(\left(2m-1\right)^2-4\left(m^2-1\right)>0\Leftrightarrow-4m+5>0\Leftrightarrow m< \dfrac{5}{4}\).
b) Theo định lí Viete ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m-1\\x_1x_2=m^2-1\end{matrix}\right.\Rightarrow\left(x_1-x_2\right)^2=\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2=\left(2m-1\right)^2-4\left(m^2-1\right)=-4m+5\)
Ta có: \(\left(x_1-x_2\right)^2=x_1-3x_2\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x_1-x_2\right)^2-\left(x_1+x_2\right)=-4x_2\\\left(x_1-x_2\right)^2+3\left(x_1+x_2\right)=4x_1\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left[\left(x_1-x_2\right)^2-\left(x_1+x_2\right)\right]\left[\left(x_1-x_2\right)^2+3\left(x_1+x_2\right)\right]=-16x_1x_2\)
\(\Rightarrow\left(-4m+5-2m+1\right)\left(-4m+5+6m-3\right)=-16\left(m^2-1\right)\)
\(\Leftrightarrow-6\left(m-1\right).2\left(m+1\right)=-16\left(m^2-1\right)\)
\(\Leftrightarrow m^2-1=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=1\\m=-1\end{matrix}\right.\) (thoả \(m< \dfrac{5}{4}\))
Với m=1 thì phương trình ban đầu trở thành: \(x^2-x=0\). Phương trình này có 2 nghiệm là x=0 và x=1. Chọn x1=1 và x2=0 thì thoả điều kiện.
Với m=-1 thì phương trình ban đầu trở thành: \(x^2+3x=0\). Phương trình này có 2 nghiệm là x=0 và x=-3. Chọn x1=0 và x2=-3 thì thoả điều kiện.
Vậy \(m=\pm1\)
Câu 17. Cho tam giác nhọn \( ABC \) (\( AB > AC \)); có đường cao \( AH \). Vẽ đường tròn \( (O) \) đường kính \( BC \) cắt cạnh \( AB \) tại \( E \). Trên cung nhỏ \( BE \) lấy điểm \( D \), \( CD \) cắt \( AH \) tại \( G \).
a) Chứng minh bốn điểm \( B, D, G, H \) cùng thuộc một đường tròn.
b) Đường thẳng \( EG \) cắt đường tròn \( (O) \) tại điểm \( M \) (\( M \) khác \( E \)). Hai đường thẳng \( AH \) và \( BM \) cắt nhau tại \( I \). Chứng minh \( GA \cdot GI = GE \cdot GM \)
c) Hai đường thẳng \( AD \) và \( CB \) cắt nhau tại \( N \); \( DB \) và \( CI \) cắt nhau tại \( K \). Chứng minh \( NK \parallel AH \).
BÀI 2 Cho hàm số y = (m ^ 2 - m) * x ^ 2 Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số đi qua điểm A(1; 2)
2) Cho hàm số y = m * x ^ 2 có độ thì là Parabol (P). Tìm giá trị của m biến rằng đồ thị hàm số y = m * x ^ 2 cắt đường thẳng (d) : y = x - 3 tại điểm có hoành độ bằng
5.
1: Thay x=1 và y=2 vào (P), ta được:
\(\left(m^2-m\right)\cdot1^2=2\)
=>\(m^2-m-2=0\)
=>(m-2)(m+1)=0
=>\(\left[{}\begin{matrix}m-2=0\\m+1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=2\\m=-1\end{matrix}\right.\)
2: Thay x=5 vào (d), ta được:
\(y=x-3=5-3=2\)
Thay x=5 và y=2 vào (P), ta được:
\(m\cdot5^2=2\)
=>25m=2
=>\(m=\dfrac{2}{25}\)
giúp e vs ạ
Từ điểm A ở ngoài đường tròn (O;R), kẻ hai tiếp tuyến AB, AC đến (O), (B, C là tiếp điểm. Gọi H là giao điểm của OA và BC. AB = AC
Chứng minh: OA là đường trung trực của BC và tứ giác OBAC nội tiếp.Chứng minh: OH.OA = R2 Trên đoạn AH lấy điểm D sao cho HB = HD, qua D kẻ DE vuông góc với OA (E thuộc AB), gọi I là trung điểm của OE, cho R = 5 cm. Tính số đo góc BHI và độ dài cạnh BE
a: Xét (O) có
AB,AC là các tiếp tuyến
Do đó: AB=AC
=>A nằm trên đường trung trực của BC(1)
Ta có: OB=OC
=>O nằm trên đường trung trực của BC(2)
Từ (1),(2) suy ra OA là đường trung trực của BC
=>OA\(\perp\)BC tại H và H là trung điểm của BC
Xét tứ giác OBAC có \(\widehat{OBA}+\widehat{OCA}=90^0+90^0=180^0\)
nên OBAC là tứ giác nội tiếp
b: Xét ΔOBA vuông tại B có BH là đường cao
nên \(OH\cdot OA=OB^2=R^2\)
giúp e vs ạ
Từ điểm A ở ngoài đường tròn (O;R), kẻ hai tiếp tuyến AB, AC đến (O), (B, C là tiếp điểm. Gọi H là giao điểm của OA và BC. AB = AC
Chứng minh: OA là đường trung trực của BC và tứ giác OBAC nội tiếp.Chứng minh: OH.OA = R2 Trên đoạn AH lấy điểm D sao cho HB = HD, qua D kẻ DE vuông góc với OA (E thuộc AB), gọi I là trung điểm của OE, cho R = 5 cm. Tính số đo góc BHI và độ dài cạnh BE.
a: Xét (O) có
AB,AC là các tiếp tuyến
Do đó: AB=AC
=>A nằm trên đường trung trực của BC(1)
Ta có: OB=OC
=>O nằm trên đường trung trực của BC(2)
Từ (1),(2) suy ra OA là đường trung trực của BC
=>OA\(\perp\)BC tại H và H là trung điểm của BC
Xét tứ giác OBAC có \(\widehat{OBA}+\widehat{OCA}=90^0+90^0=180^0\)
nên OBAC là tứ giác nội tiếp
b: Xét ΔOBA vuông tại B có BH là đường cao
nên \(OH\cdot OA=OB^2=R^2\)
Từ điểm A ở ngoài đường tròn (O;R), kẻ hai tiếp tuyến AB, AC đến (O), (B, C là tiếp điểm. Gọi H là giao điểm của OA và BC. AB = AC
Chứng minh: OA là đường trung trực của BC và tứ giác OBAC nội tiếp.Chứng minh: OH.OA = R2 Trên đoạn AH lấy điểm D sao cho HB = HD, qua D kẻ DE vuông góc với OA (E thuộc AB), gọi I là trung điểm của OE, cho R = 5 cm. Tính số đo góc BHI và độ dài cạnh BE.
a: Xét (O) có
AB,AC là các tiếp tuyến
Do đó: AB=AC
=>A nằm trên đường trung trực của BC(1)
Ta có: OB=OC
=>O nằm trên đường trung trực của BC(2)
Từ (1),(2) suy ra OA là đường trung trực của BC
=>OA\(\perp\)BC tại H và H là trung điểm của BC
Xét tứ giác OBAC có \(\widehat{OBA}+\widehat{OCA}=90^0+90^0=180^0\)
nên OBAC là tứ giác nội tiếp
b: Xét ΔOBA vuông tại B có BH là đường cao
nên \(OH\cdot OA=OB^2=R^2\)
giải giúp e vs ạ
a: Xét tứ giác BCEF có \(\widehat{BFC}=\widehat{BEC}=90^0\)
nên BCEF là tứ giác nội tiếp
b: BCEF là tứ giác nội tiếp
=>\(\widehat{FEC}+\widehat{FBC}=180^0\)
mà \(\widehat{FEC}+\widehat{AEF}=180^0\)(hai góc kề bù)
nên \(\widehat{AEF}=\widehat{ABC}\)
Xét ΔAEF và ΔABC có
\(\widehat{AEF}=\widehat{ABC}\)
\(\widehat{EAF}\) chung
Do đó: ΔAEF~ΔABC
=>\(\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AF}{AC}\)
=>\(AE\cdot AC=AF\cdot AB\)
Gọi Ax là tiếp tuyến tạiA của (O)
=>Ax\(\perp\)OA tại A
=>Ax\(\perp\)AD tại A
Xét (O) có
\(\widehat{xAC}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến Ax và dây cung AC
\(\widehat{ABC}\) là góc nội tiếp cùng chắn cung AC
Do đó: \(\widehat{xAC}=\widehat{ABC}\)
mà \(\widehat{ABC}=\widehat{AEF}\)
nên \(\widehat{xAC}=\widehat{AEF}\)
mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong
nên Ax//FE
=>FE\(\perp\)AD
giải giúp e vs ạ
a: Xét tứ giác BCEF có \(\widehat{BFC}=\widehat{BEC}=90^0\)
nên BCEF là tứ giác nội tiếp
b: BCEF là tứ giác nội tiếp
=>\(\widehat{FEC}+\widehat{FBC}=180^0\)
mà \(\widehat{FEC}+\widehat{AEF}=180^0\)(hai góc kề bù)
nên \(\widehat{AEF}=\widehat{ABC}\)
Xét ΔAEF và ΔABC có
\(\widehat{AEF}=\widehat{ABC}\)
\(\widehat{EAF}\) chung
Do đó: ΔAEF~ΔABC
=>\(\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AF}{AC}\)
=>\(AE\cdot AC=AF\cdot AB\)
Gọi Ax là tiếp tuyến tạiA của (O)
=>Ax\(\perp\)OA tại A
=>Ax\(\perp\)AD tại A
Xét (O) có
\(\widehat{xAC}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến Ax và dây cung AC
\(\widehat{ABC}\) là góc nội tiếp cùng chắn cung AC
Do đó: \(\widehat{xAC}=\widehat{ABC}\)
mà \(\widehat{ABC}=\widehat{AEF}\)
nên \(\widehat{xAC}=\widehat{AEF}\)
mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong
nên Ax//FE
=>FE\(\perp\)AD
giúp e vs ạ
Câu 6. (2,0 điểm) Cho \( \triangle ABC \) nhọn (\( AB < AC \)) nội tiếp đường tròn \((O; R)\). Ba đường \( AD, BE, CF \) cắt nhau tại \( H \). Gọi \( M \) là trung điểm của \( BC \).
a) Chứng minh rằng tứ giác \( BCEF \) nội tiếp.
b) Kẻ đường kính \( AK \). Chứng minh rằng \( AE \cdot AB = AF \cdot AC \) và \( EF \perp AK \).
a: Xét tứ giác BCEF có \(\widehat{BFC}=\widehat{BEC}=90^0\)
nên BCEF là tứ giác nội tiếp
b: BCEF là tứ giác nội tiếp
=>\(\widehat{FEC}+\widehat{FBC}=180^0\)
mà \(\widehat{FEC}+\widehat{AEF}=180^0\)(hai góc kề bù)
nên \(\widehat{AEF}=\widehat{ABC}\)
Xét ΔAEF và ΔABC có
\(\widehat{AEF}=\widehat{ABC}\)
\(\widehat{EAF}\) chung
Do đó: ΔAEF~ΔABC
=>\(\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AF}{AC}\)
=>\(AE\cdot AC=AF\cdot AB\)
Gọi Ax là tiếp tuyến tạiA của (O)
=>Ax\(\perp\)OA tại A
=>Ax\(\perp\)AD tại A
Xét (O) có
\(\widehat{xAC}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến Ax và dây cung AC
\(\widehat{ABC}\) là góc nội tiếp cùng chắn cung AC
Do đó: \(\widehat{xAC}=\widehat{ABC}\)
mà \(\widehat{ABC}=\widehat{AEF}\)
nên \(\widehat{xAC}=\widehat{AEF}\)
mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong
nên Ax//FE
=>FE\(\perp\)AD
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O).Lấy điểm P bất kì trên cung nhỏ AC của đường tròn (O).Gọi D và E theo thứ tự là chân đường vuông góc kẻ từ điểm P đến các đường thẳng AC và BC.Gọi I và F theo thứ tự là trung điểm của AB và DE.chứng minh góc PFI =90
