c: Coi hai chữ số 2 và 3 là một chữ số

=>Chúng ta sẽ cần tìm xem có bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau mà trong đó phải có chữ số {2;3}

Số cách chọn cho 3 chữ số còn lại là: \(5\cdot4\cdot3=60\left(cách\right)\)

Số cách xếp 2 chữ số 2 và 3 là 2(cách)

Do đó: Có \(60\cdot2=120\left(cách\right)\)

a; Gọi số lập được có dạng là \(\overline{abcde}\)

a có 7 cách chọn

b có 6 cách chọn

c có 5 cách chọn

d có 4 cách chọn

e có 3 cách chọn

Do đó: Có \(7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3=2520\left(số\right)\)

b: Gọi số lập được có dạng là \(\overline{abcdef}\)

f có 1 cách chọn

a có 6 cách chọn

b có 5 cách chọn

c có 4 cách chọn

d có 3 cách chọn

e có 2 cách chọn

Do đó: Có \(1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5\cdot6=720\left(cách\right)\)

a: Gọi số lập được có dạng là \(\overline{abcd}\)

a có 8 cách chọn

b có 9 cách chọn

c có 9 cách chọn

d có 9 cách chọn

Do đó: Có \(8\cdot9\cdot9\cdot9=5832\left(cách\right)\)

b: Gọi số lập được có dạng là \(\overline{abcde}\)

a có 8 cách chọn

b có 8 cách chọn

c có 7 cách chọn

d có 6 cách chọn

e có 5 cách chọn

Do đó: Có \(8\cdot8\cdot7\cdot6\cdot5=13440\left(cách\right)\)

c: Gọi số lập được có dạng là \(\overline{abcde}\)

a có 8 cách chọn

b có 9 cách chọn

c có 9 cách chọn

d có 9 cách chọn

e có 5 cách chọn

Do đó: Có \(8\cdot9\cdot9\cdot9\cdot5=29160\left(cách\right)\)

d: Gọi số lập được có dạng là \(\overline{abcdef}\)

TH1: f\(\ne\)0

f có 4 cách chọn

a có 7 cách chọn

b có 7 cách chọn

c có 6 cách chọn

d có 5 cách chọn

e có 4 cách chọn

Do đó: Có \(4\cdot7\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4=23520\left(cách\right)\)

TH2: f=0

a có 8 cách chọn

b có 7 cách chọn

c có 6 cách chọn

d có 5 cách chọn

e có 4 cách chọn

Do đó: Có \(8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4=6720\left(cách\right)\)

Tổng số cách là 6720+23520=30240(cách)

e: Gọi số lập được có dạng là \(\overline{abcdef}\)

f có 4 cách chọn(Các số có thể chọn là 1;3;5;7)

a có 7 cách chọn

b có 7 cách chọn

c có 6 cách chọn

d có 5 cách chọn

e có 4 cách chọn

Do đó: Có \(4\cdot7\cdot7\cdot6\cdot5=5880\left(cách\right)\)

f: Gọi số lập được có dạng là \(\overline{abcde}\)

Vì \(\overline{abcde}⋮5\) nên \(e\in\left\{0;5\right\}\)

TH1: e=0

a có 8 cách chọn

b có 7 cách chọn

c có 6 cách chọn

d có 5 cách chọn

Do đó: Có \(8\cdot7\cdot6\cdot5=1680\left(cách\right)\)

TH2: e=5

a có 7 cách chọn

b có 7 cách chọn

c có 6 cách chọn

d có 5 cách chọn

Do đó: Có \(7\cdot7\cdot6\cdot5=1470\left(cách\right)\)

Tổng số cách là 1680+1470=3150(cách)

a: Gọi số lập được có dạng là \(\overline{abcd}\)

d có 3 cách chọn

a có 6 cách chọn

b có 5 cách chọn

c có 4 cách chọn

Do đó: Có \(3\cdot6\cdot5\cdot4=360\left(cách\right)\)

b: Gọi số lập được có dạng là \(\overline{abcd}\)

d có 4 cách chọn

a có 6 cách chọn

b có 5 cách chọn

c có 4 cách chọn

Do đó: Có \(4\cdot6\cdot5\cdot4=480\left(cách\right)\)

c: Gọi số lập được có dạng là \(\overline{abcd}\)

d có 1 cách chọn

a có 6 cách chọn

b có 5 cách chọn

c có 4 cách chọn

Do đó: Có \(6\cdot5\cdot4\cdot1=120\left(cách\right)\)

d: Các cặp số mà tổng hai chư số đầu  bằng tổng hai chữ số cuối là:

{(1;7);(2;6)}; {(1;6);(2;5)}; {(1;5);(2;4)}; {(1;4);(2;3)}; {(2;6);(3;5)}; {(2;5); (3;4)}

=>Có 6 cặp

Với mỗi cặp, ta có số cách tráo hai chữ số lại là \(2!=2\left(cách\right)\)

=>Với 2 cặp (1;7); (2;6) ta có 2 cách hoán đổi vị trí hai cặp với nhau và với mỗi bộ số, ta lại có 2 cách hoán đổi vị trí

Do đó: Có \(2\cdot2\cdot2=8\left(cách\right)\)

=>Có tất cả là \(8\cdot6=48\left(cách\right)\)

Câu 5:

a, Số cách chọn một bạn phụ trách quỹ lớp: `18+12=40(\text{cách})`

b, Số cách chọn hai bạn, 1 bạn nam và nữ: `18*12=216(\text{cách})`

\(y=-2x^2+x+3\)

\(\left(P\right)\) đạt cực đại tại điểm \(\left(\dfrac{1}{4};\dfrac{25}{8}\right)=\left(0,25;3,125\right)\)

\(\Rightarrow\left(P\right)\) đồng biến trên \(\left(-\infty;\dfrac{1}{4}\right)\) và nghịch biến trên \(\left(\dfrac{1}{4};+\infty\right)\)

\(\left(d_1\right):3x-y+1=0\Rightarrow\overrightarrow{n_{PT}}=\left(3;-1\right)\)

\(\left(d_1\right)\perp\left(d_3\right)\Rightarrow\left(d_3\right):x+3y+c=0\)

\(\left(d_3\right)\cap\left(d_1\right)=A\left(x_A;y_A\right)\) là nghiệm hpt \(\left\{{}\begin{matrix}3x-y+1=0\\x+3y+c=0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow A\left(\dfrac{-3-c}{10};\dfrac{1-3c}{10}\right)\)

\(\left(d_3\right)\cap\left(d_2\right)=C\left(x_C;y_C\right)\) là nghiệm hpt \(\left\{{}\begin{matrix}x-2y+2=0\\x+3y+c=0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow C\left(\dfrac{-6-2c}{5};\dfrac{-4+c}{5}\right)\)

\(\left(d_1\right)\cap\left(d_2\right)=B\left(x_B;y_B\right)\) là nghiệm hpt \(\left\{{}\begin{matrix}3x-y+1=0\\x-2y+2=0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow B\left(0;1\right)\)

\(AC=\sqrt{\left(\dfrac{-3-c}{10}+\dfrac{6+2c}{5}\right)^2+\left(\dfrac{1-3c}{10}+\dfrac{4-c}{5}\right)^2}\)

\(\Rightarrow AC=\dfrac{1}{10}\sqrt{\left(9+3c\right)^2+\left(9-5c\right)^2}\)

Tương tự \(AB=\dfrac{1}{10}\sqrt{\left(c+3\right)^2+\left(9+3c\right)^2}\)

\(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}.AC.AB=5\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{10}\sqrt{\left(9+3c\right)^2+\left(9-5c\right)^2}.\dfrac{1}{10}\sqrt{\left(c+3\right)^2+\left(9+3c\right)^2}=5\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(9+3c\right)^2+\left(9-5c\right)^2}.\sqrt{\left(c+3\right)^2+\left(9+3c\right)^2}=1000\)

Sau khi giải phương trình trên, ta được \(c=7;c=-13\)

Vậy phương trình tổng quát của \(\left(d_3\right):\left[{}\begin{matrix}x+3y+7=0\\x+3y-13=0\end{matrix}\right.\)

D. 54 số

a) \(\sqrt{x+1}=x+1\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+1\ge0\\x+1=\left(x+1\right)^2\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge-1\\x\left(x+1\right)=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=-1\end{matrix}\right.\)

b) \(\sqrt{3x^2+6x+3}=2x+1\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{3\left(x^2+2x+1\right)}=2x+1\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{3}\left|x+1\right|=2x+1\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\sqrt{3}\left(x+1\right)=2x+1\\\sqrt{3}\left(x+1\right)=-2x-1\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left(2-\sqrt{3}\right)x=\sqrt{3}-1\\\left(2+\sqrt{3}\right)x=-\sqrt{3}-1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{\sqrt{3}-1}{2-\sqrt{3}}\\x=\dfrac{-\sqrt{3}-1}{2+\sqrt{3}}\end{matrix}\right.\)

c) \(\sqrt{2x^2+x+3}=-x-5\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-x-5\ge0\\2x^2+x+3=\left(-x-5\right)^2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\le-5\\2x^2+x+3=x^2+10x+25\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\le-5\\x^2-9x-22=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\le-5\\x=-2\cup x=11\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow x=-2\)

d) \(\sqrt{x^2-4x-5}=\sqrt{2x^2+3x+1}\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2-4x-5\ge0\\x^2-4x-5=2x^2+3x+1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\le-1\cup x\ge5\\x^2-7x+6=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\le-1\cup x\ge5\\x=1\cup x=6\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow x=6\)

a) Để \(f\left(x\right)\) là tam thức bậc hai không đổi dấu \(\forall x\in R\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m+1\ne0\\\Delta=25-8\left(m+1\right)< 0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne-1\\8m>17\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow m>\dfrac{17}{8}\)

b) Để \(f\left(x\right)< 0,\forall x\in R\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< 0\\\Delta=49-16m< 0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< 0\\m>\dfrac{49}{16}\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow m\in\varnothing\)

c) Để \(f\left(x\right)>0;\forall x\in R\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3>0\left(đúng\right)\\\Delta'=4-9m+3< 0\end{matrix}\right.\)  \(\Leftrightarrow m>\dfrac{7}{9}\)

d) Để \(f\left(x\right)< 0,\forall x\in R\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m^2+1< 0\left(Sai\right)\\\Delta=9m^2-4m^2-4< 0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow m\in\varnothing\)

a: Δ1//Δ

=>Δ1: 2x-y+c=0

Thay x=-1 và y=3 vào Δ1, ta được:

\(2\cdot\left(-1\right)-3+c=0\)

=>c-5=0

=>c=5

=>Δ1: 2x-y+5=0

b: Δ2\(\perp\)Δ

=>Δ2: x+2y+c=0

Thay x=-1 và y=3 vào Δ2, ta được:

-1+6+c=0

=>c+5=0

=>c=-5

=>Δ2: x+2y-5=0

c: A' đối xứng với A qua Δ

=>A'A\(\perp\)Δ tại trung điểm của A'A

mà A\(\in\)Δ2 và Δ2\(\perp\)Δ

nên giao điểm của Δ và Δ2 chính là trung điểm của A'A

Tọa độ giao điểm của Δ và Δ2 là:

\(\left\{{}\begin{matrix}x+2y-5=0\\2x-y-3=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-2y+5\\2\left(-2y+5\right)-y-3=0\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x=-2y+5\\-4y+10-y-3=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-2y+5\\-5y+7=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=\dfrac{7}{5}\\x=-2\cdot\dfrac{7}{5}+5=-\dfrac{14}{5}+5=\dfrac{11}{5}\end{matrix}\right.\)

Do đó, ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_{A'}+x_A=2\cdot\dfrac{11}{5}=\dfrac{22}{5}\\y_{A'}+y_A=2\cdot\dfrac{7}{5}=\dfrac{14}{5}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_{A'}=\dfrac{22}{5}-\left(-1\right)=\dfrac{27}{5}\\y_{A'}=\dfrac{14}{5}-3=-\dfrac{1}{5}\end{matrix}\right.\)

=>A'(27/5;-1/5)