Ôn tập Đường tròn

Hãy Đội quần
Xem chi tiết
Phúc Tiến
Xem chi tiết
Nguyễn Lê Phước Thịnh
6 tháng 12 2023 lúc 23:04

a: Xét (O) có

AB,AC là tiếp tuyến

Do đó: AB=AC

=>A nằm trên đường trung trực của BC(1)

Ta có: OB=OC

=>O nằm trên đường trung trực của BC(2)

Từ (1) và (2) suy ra OA là đường trung trực của BC

=>OA\(\perp\)BC tại H và H là trung điểm của BC

b: Xét (O) có

ΔCED nội tiếp

CD là đường kính

Do đó: ΔCED vuông tại E

=>CE\(\perp\)ED tại E

=>CE\(\perp\)AD tại E

Xét ΔDCA vuông tại C có CE là đường cao

nên \(AE\cdot AD=AC^2\)

mà AC=AB

nên \(AE\cdot AD=AB^2\)

c: Xét (O) có

MB,ME là tiếp tuyến

Do đó: MB=ME

Xét (O) có

NE,NC là tiếp tuyến

Do đó: NE=NC

Chu vi tam giác AMN là:

\(C_{AMN}=AM+MN+AN\)

\(=AM+ME+EN+NA\)

\(=AM+MB+NC+NA\)

\(=AB+AC\)

 

Bình luận (0)
Phúc Tiến
Xem chi tiết
Nguyễn Lê Phước Thịnh
6 tháng 12 2023 lúc 23:11

a: Ta có: ΔOBC cân tại O

mà OH là đường cao

nên OH là phân giác của \(\widehat{BOC}\)

=>OA là phân giác của góc BOC

Xét ΔOBA và ΔOCA có

OB=OC

\(\widehat{BOA}=\widehat{COA}\)

OA chung

Do đó: ΔOBA=ΔOCA

=>\(\widehat{OBA}=\widehat{OCA}=90^0\)

=>AC là tiếp tuyến của (O)

b: Xét (O) có

ΔCED nội tiếp

CD là đường kính

Do đó: ΔCED vuông tại E

=>CE\(\perp\)ED tại E

=>CE\(\perp\)AD tại E

Xét ΔDCA vuông tại C có CE là đường cao

nên \(AE\cdot AD=AC^2\)

mà AC=AB

nên \(AE\cdot AD=AB^2\)

c: Gọi giao điểm của ON với DE là K

Theo đề, ta có: ON\(\perp\)DE tại K

Ta có: ΔODE cân tại O

mà OK là đường cao

nên K là trung điểm của DE

Xét ΔOKA vuông tại K và ΔOHN vuông tại H có

\(\widehat{KOA}\) chung

Do đó: ΔOKA đồng dạng với ΔOHN

=>\(\dfrac{OK}{OH}=\dfrac{OA}{ON}\)

=>\(OK\cdot ON=OH\cdot OA\)(1)

Xét ΔOBA vuông tại B có BH là đường cao

nên \(OH\cdot OA=OB^2=OD^2\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(OD^2=OK\cdot ON\)

=>\(\dfrac{OD}{OK}=\dfrac{ON}{OD}\)

Xét ΔODN và ΔOKD có

\(\dfrac{OD}{OK}=\dfrac{ON}{OD}\)

\(\widehat{DON}\) chung

DO đó: ΔODN đồng dạng với ΔOKD

=>\(\widehat{ODN}=\widehat{OKD}=90^0\)

=>DN là tiếp tuyến của (O)

Bình luận (0)
Tiến Thân
Xem chi tiết
Nguyễn Lê Phước Thịnh
21 tháng 10 2023 lúc 21:46

a: Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AH^2=HB\cdot HC\)

=>\(AH=\sqrt{4\cdot9}=6\left(cm\right)\)

Xét tứ giác ADHE có

\(\widehat{ADH}=\widehat{AEH}=\widehat{DAE}=90^0\)

=>ADHE là hình chữ nhật

=>AH=DE=6(cm)

b: Xét tứ giác ADHE có

\(\widehat{ADH}+\widehat{AEH}=180^0\)

=>ADHE là tứ giác nội tiếp

=>A,D,H,E cùng thuộc 1 đường tròn

c: \(\widehat{CAK}+\widehat{BAK}=90^0\)

\(\widehat{CKA}+\widehat{HAK}=90^0\)

mà \(\widehat{BAK}=\widehat{HAK}\)

nên \(\widehat{CAK}=\widehat{CKA}\)

=>ΔCAK cân tại C

mà CI là đường trung tuyến

nên CI vuông góc AK

Bình luận (0)
Tiến Thân
Xem chi tiết
Nguyễn Lê Phước Thịnh
20 tháng 10 2023 lúc 19:42

a: ΔABC vuông tại A

=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)

=>\(BC=\sqrt{9^2+12^2}=15\left(cm\right)\)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AH\cdot BC=AB\cdot AC\)

=>\(AH=\dfrac{12\cdot9}{15}=7.2\left(cm\right)\)

b: ΔAHB vuông tại H có HI là đường cao

nên \(AI\cdot IB=HI^2\)

ΔAHC vuông tại H có HK là đường cao

nên \(AK\cdot KC=HK^2\)

Xét tứ giác AIHK có 

\(\widehat{AIH}=\widehat{AKH}=\widehat{KAI}=90^0\)

=>AIHK là hình chữ nhật

=>\(HI^2+HK^2=IK^2=AH^2\)

=>\(AI\cdot IB+AK\cdot KC=AH^2=7.2^2=51.84\)

c: Vì AIHK là hình chữ nhật

nên A,I,H,K cùng thuộc đường tròn đường kính AH

Bình luận (0)
James
Xem chi tiết
Võ Thị Thanh Thảo
Xem chi tiết
Nguyễn Lê Phước Thịnh
27 tháng 11 2023 lúc 7:52

Bổ sung đề: đường kính BD

a: Xét tứ giác ABOC có

\(\widehat{ABO}+\widehat{ACO}=90^0+90^0=180^0\)

=>ABOC là tứ giác nội tiếp

=>A,B,O,C cùng thuộc một đường tròn

b: Xét (O) có

AB,AC là tiếp tuyến

=>AB=AC

=>A nằm trên đường trung trực của BC(1)

OB=OC

=>O nằm trên đường trung trực của BC(2)

Từ (1) và (2) suy ra OA là đường trung trực của BC

=>OA\(\perp\)BC(3)

Xét (O) có

ΔBCD nội tiếp

BD là đường kính

Do đó: ΔBCD vuông tại C

=>BC\(\perp\)CD(4)

Từ (3) và (4) suy ra OH//DC

Xét ΔBCD có OH//DC

nên \(\dfrac{OH}{DC}=\dfrac{BO}{BD}=\dfrac{1}{2}\)

=>DC=2OH

c: Bổ sung đề; AD cắt (O) tại điểm thứ hai là E

Xét (O) có

ΔBED nội tiếp

BD là đường kính

Do đó: ΔBED vuông tại E

=>BE\(\perp\)ED tại E

=>BE\(\perp\)AD tại E

Xét ΔBDA vuông tại B có BElà đường cao

nên \(AE\cdot AD=AB^2\left(5\right)\)

Xét ΔOBA vuông tại B có BH là đường cao

nên \(AH\cdot AO=AB^2\left(6\right)\)

Từ (5) và (6) suy ra \(AE\cdot AD=AH\cdot AO\)

=>\(\dfrac{AE}{AO}=\dfrac{AH}{AD}\)

Xét ΔAEH và ΔAOD có

\(\dfrac{AE}{AO}=\dfrac{AH}{AD}\)

\(\widehat{EAH}\) chung

Do đó: ΔAEH đồng dạng với ΔAOD

=>\(\widehat{AHE}=\widehat{ADO}\)

Bình luận (0)
Tú72 Cẩm
Xem chi tiết
Nguyễn Lê Phước Thịnh
28 tháng 10 2023 lúc 10:21

a: PM\(\perp\)MQ

MQ\(\perp\)AB

Do đó: PM//AB

Xét tứ giác PMIO có

IO//MP

\(\widehat{PMI}=90^0\)

Do đó: PMIO là hình thang vuông

b: ΔMPQ vuông tại M

=>ΔMPQ nội tiếp đường tròn đường kính PQ

mà ΔMPQ nội tiếp (O)

nên O là trung điểm của PQ

=>P,Q,O thẳng hàng

c: ΔAOC vuông tại O

=>\(OA^2+OC^2=AC^2\)

=>\(R^2+R^2=\left(a\sqrt{2}\right)^2=2a^2\)

=>\(R=a\)

Kẻ OH\(\perp\)AC

=>d(O;AC)=OH

Xét ΔOAC vuông tại O có OH là đường cao

nên \(OH\cdot AC=OA\cdot OC\)

=>\(OH\cdot a\sqrt{2}=a\cdot a=a^2\)

=>\(OH=\dfrac{a}{\sqrt{2}}\)

Vậy: Khoảng cách từ O đến AC là \(\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\)

Bình luận (0)
Linh Nguyễn
Xem chi tiết
Nguyễn Lê Phước Thịnh
31 tháng 8 2023 lúc 21:08

Xét (O) có

CM,CA là tiếp tuyến

=>CM=CA và OC là phân giác của góc MOA(1)

Xét (O) có

DM,DB là tiếp tuyến

=>DM=DB và OD là phân giác của góc MOB(2)

Từ (1), (2) suy ra góc COD=1/2*góc AOB=90 độ

=>O nằm trên (I)

Xét hình thang ABDC có

O,I lần lượt là trung điểm của AB,CD

=>OI là đường trung bình

=>OI//AC//BD

=>OI vuông góc AB

=>AB tiếp xúc (I) tại O

Bình luận (1)
Linh Nguyễn
Xem chi tiết
Nguyễn Lê Phước Thịnh
31 tháng 8 2023 lúc 20:52

a: Gọi I là trung điểm của CM

Xét (I) có

ΔCDM nội tiếp

CM là đường kính

Do đó: ΔCDM vuông tại D

=>góc CDM=góc CDB=90 độ

Xét tứ giác ABCD có

góc CAB=góc CDB=90 độ

=>ABCD nội tiếp

b: Xét ΔCAB có CO/CB=CM/CA=1/2

nên OM//AB

=>OM vuông góc AC tại M

=>OM là tiếp tuyến của (I)

Bình luận (0)
Vu nguyen
31 tháng 8 2023 lúc 21:04

a) Để chứng minh A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn, ta cần chứng minh tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp. Ta có:

- Góc BAD = góc BAC (cùng chắn cung BC)

- Góc BCD = góc BCA (cùng chắn cung BA)

Do đó, góc BAD + góc BCD = góc BAC + góc BCA = 90 độ (vì tam giác ABC vuông tại A)

Suy ra, tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp.

 

b) Để chứng minh OM là tiếp tuyến của đường tròn đường kính MC, ta cần chứng minh OM vuông góc với MC. Ta có:

- Góc OMB = góc ONB (cùng chắn cung OB)

- Góc ONB = góc MNB (do tam giác MNB vuông tại N)

- Góc MNB = góc MCB (do tam giác MCB vuông tại C)

- Góc MCB = góc ACB (do tam giác ABC vuông tại A)

Do đó, góc OMB = góc ACB

Suy ra, OM vuông góc với MC.

Vậy OM là tiếp tuyến của đường tròn đường kính MC.

Bình luận (0)