Ôn tập cuối năm phần số học

A = |x + 1| + | x + 2| + |x + 3| + ............... + |x + 2016| + 100

Đặt : A' = |x + 1| + | x + 2| + |x + 3| + ............... + |x + 2016|

=> A' = |x + 1| + |-x - 2| + |x + 3| + ............... + |-x - 2016|

Áp dụng BĐT |a| + |b| \(\ge\) |a + b| , có :

|x + 1| + |-x - 2| + |x + 3| + ............... + |-x - 2016| \(\ge\) |x + 1 - x - 2 + x + 3 - x - 4 + ....... + x + 2015 - x - 2016|

<=> A' \(\ge\) |1 - 2 + 3 - 4 + ......... + 2015 - 2016| = |-1008| = 1008

=> A \(\ge\) 1008 + 100 = 1108

=> Min_A = 1108

\(\left|\sqrt{x-1}-2\right|+\left|\sqrt{x-1}-3\right|\ge\left|\sqrt{x-1}-2-\sqrt{x-1}+3\right|=\left|1\right|=1\)đẳng thức khi

\(\left(\sqrt{x-1}-2\right)\left(\sqrt{x-1}-3\right)\le0\)

\(5\le x\le10\)

\(A=\dfrac{x^2+x+1}{x}\\ \\ =\dfrac{x^2}{x}+\dfrac{x}{x}+\dfrac{1}{x}\\ \\ =x+1+\dfrac{1}{x}\)

Áp dụng BDT: Cô-si: \(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\ge2\)

\(\Rightarrow A=x+1+\dfrac{1}{x}\ge2+1\ge3\)

Dấu "=" xảy ra khi:

\(x=1\)

Vậy \(A_{\left(Min\right)}=3\) khi \(x=1\)

1)

\(M=\dfrac{1}{3}x^2+2x+10\)

\(=\dfrac{1}{3}.\left(x^2+6x+30\right)\)

\(=\dfrac{1}{3}\left(x^2+2.x.3+9\right)+7\)

\(=\dfrac{1}{3}.\left(x+3\right)^2+7\) \(\ge\) 7 với \(\forall\) x

=> M luôn dương

=> đpcm

2)

a) \(2x-x^2-15\)

\(=-\left(x^2-2x+15\right)\)

\(=-\left(x^2-2x+1\right)-14\)

\(=-\left(x-1\right)^2-14\) \(\le-14\) với \(\forall\) x

=> \(2x-x^2-15\) luôn âm

=> đpcm

b) \(-5-\left(x-1\right)\left(x+2\right)\)

\(=-5-x^2-2x+x+2\)

\(=-x^2-x-3\)

\(=-\left(x^2+x+3\right)\)

\(=-\left(x^2+2.\dfrac{1}{2}.x+\dfrac{1}{4}\right)-\dfrac{11}{4}\)

\(=-\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2-\dfrac{11}{4}\le-\dfrac{11}{4}\) với \(\forall\) x

=> \(-5-\left(x-1\right)\left(x+2\right)\) luôn âm

=> đpcm

\(M=\dfrac{1}{3}x^2+2x+10=\dfrac{1}{3}\left(x^2+6x+9\right)+7\)

\(=\dfrac{1}{3}\left(x+3\right)^2+7\)

Ta có:

\(\dfrac{1}{3}\left(x+3\right)^2\ge\forall x\Rightarrow\dfrac{1}{3}\left(x+3\right)^2+7>0\)

=>đpcm

\(2,a,2x-x^2-15\)

\(=-\left(x^2-2x+1\right)-14\)

\(=-\left(x-1\right)^2-14\)

Ta có:

\(-\left(x-1\right)^2\le0\forall x\Rightarrow-\left(x-1\right)^2-14< 0\)

=> đpcm

\(b,-5-\left(x-1\right)\left(x+2\right)\)

\(=-5-\left(x^2+x-2\right)\)

\(=-5-x^2-x+2\)

\(=-\left(x^2+x+\dfrac{1}{4}\right)-\dfrac{11}{4}\)

\(=-\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2-\dfrac{11}{4}\)

Ta có:

\(-\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2\le0\forall x\Rightarrow-\left(x+\dfrac{1}{2}\right)-\dfrac{11}{4}< 0\)=> đpcm

Gọi 2 STN cần tìm là a và b ( \(a,b\in N^{\cdot}\) )

Theo đề bài, ta có :

\(a-b=1275\) (1)

Và a chia b được thương là 3 và dư 125

=> \(a=3b+125\) (2)

Thay (2) vào (1) ta được :

\(3b+125-b=1275\)

=> \(2b+125=1275\)

=> \(2b=1150\)

=> \(b=575\)

=> \(a-575=1275\)

=> \(a=1850\)

Vậy 2 STN cần tìm là 1850 và 575

b) Xét VP ta có :

\(\left(a+b+c\right)\cdot\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)\)

\(=a^3+ab^2+ac^2-ab^2-abc-ca^2+ba^2+b^3+bc^2-ab^2-bc^2-abc+ca^2+cb^2+c^3-abc-bc^2-c^2a\)

\(=a^3+b^3+c^3-abc-abc-abc\)

\(=a^3+b^3+c^3-3abc\)

\(=VT\)

Vậy đẳng thức đã được Cm

khai triển và giải thích để e hiểu giúp với ạ !!

Xét vế trái ta có :

\(x^4+y^4+\left(x+y\right)^4\)

= \(x^4+y^4+\left(\left(x+y\right)^2\right)^2\)

= \(x^4+y^4+\left(x^2+y^2+2xy\right)^2\)

= \(x^4+y^4+x^4+y^4+4x^2y^2+2x^2y^2+4x^3y+4xy^3\)

= \(2x^4+2y^4+6x^2y^2+4x^3y+4xy^3\)

= \(2\left(x^4+y^4+3x^2y^2+2x^3y+2xy^3\right)\)

= \(2\left(x^4+y^4+x^2y^2+2x^2y^2+2x^3y+2xy^3\right)\)

= \(2\left(x^2+xy+y^2\right)^2\)

=VP

Vậy đăng thức đã được chứng minh

2) Đặt \(P=16x^4-40x^2y^3+25y^6\)

\(P=\left(4x^2\right)^2-2.4x^2.5y^3+\left(5y^3\right)^2\)

\(P=\left(4x^2-5y^3\right)^2\)

\(\Rightarrow P\ge0\forall x,y\in R\)

Vậy chọn D

3) \(\left(x-3\right)^2\ge0\Rightarrow y\ge1\)

Min_y=1 khi x=3

4)Đặt P \(\left(n+7\right)^2-\left(n-5\right)^2\)

\(=\left(n+7+n-5\right)\left(n+7-n+5\right)\)

\(=\left(2n+2\right).12\)

\(=24n+24\)

\(=24\left(n+1\right)\) ( Chia hết cho 24)

=> P chia hết cho 24 mà 24 là bội của 8,6

=> P cũng chia hết cho 8,6

Vậy chọn câu B