Ôn tập cuối năm phần số học

a: Xét tứ giác AMDN có \(\widehat{AMD}=\widehat{AND}=\widehat{MAN}=90^0\)

nên AMDN là hình chữ nhật

Suy ra: AD=MN

c: Để AMDN trở thành hình vuông thì AD là tia phân giác của góc MAN

=>AD là tia phân giác của góc BAC

hay D là chân đường phân giác kẻ từ A xuống BC

a) Tứ giác ABEC là hình gì ?

Ta có: AM là đường trung tuyến

=> BM = MC

Và: A đối xứng với E qua M

=> AM = ME

Do đó: Tứ giác ABEC là hình bình hành (1)

b) * Tìm điều kiện của tam giác ABC để ABEC là hình chữ nhật

Giả sử: \(\widehat{A}=90^o\) (2)

Từ (1), (2) => ABEC là hình chữ nhật (Hình bình hành có 1 góc vuông)

Vậy ABEC là hình chữ nhật khi tam giác ABC vuông tại A

* Tìm điều kiện của tam giác ABC để ABEC là hình thoi

Giả sử: AB = AC (3)

Từ (1), (3) => ABEC là hình thoi (Hình bình hành có 2 cạnh kề bằng nhau)

Vậy ABEC là hình thoi khi tam giác ABC cân tại A

* Tìm điều kiện của tam giác ABC để ABEC là hình vuông

Ta có: 1 tứ giác vừa là hình chữ nhật, vừa là hình thoi thì tứ giác đó là hình vuông

Mà: ABEC là hình chữ nhật khi tam giác ABC vuông tại A

ABEC là hình thoi khi tam giác ABC cân tại A

Vậy ABEC là hình vuông khi tam giác ABC vuông cân tại A

Lời giải:

Sử dụng một hệ quả quen thuộc:

\(a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ac\) \((1)\)

BĐT luôn đúng vì tương đương với:\(\frac{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}{2}\geq 0\)

Ta sẽ cm \(ab+bc+ac\geq \sqrt{abc}(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})\) \((2)\)

\(\Leftrightarrow 2(ab+bc+ac)\geq 2\sqrt{abc}(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})\)

\(\Leftrightarrow (\sqrt{ab}-\sqrt{ac})^2+(\sqrt{ab}-\sqrt{bc})^2+(\sqrt{ac}-\sqrt{bc})^2\geq 0\)

(luôn đúng)

Do đó ta có \((2)\)

Từ \((1),(2)\Rightarrow a^2+b^2+c^2\geq \sqrt{abc}(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})\)

Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c\)