Ôn tập chương 1: Căn bậc hai. Căn bậc ba

M = \(\dfrac{2}{\sqrt{7}-\sqrt{6}}-\sqrt{28}+\sqrt{54}\)

= \(\dfrac{2\left(\sqrt{7}+\sqrt{6}\right)}{\left(\sqrt{7}+\sqrt{6}\right)\left(\sqrt{7}-\sqrt{6}\right)}-2\sqrt{7}+3\sqrt{6}\)

= \(2\sqrt{7}+2\sqrt{6}-2\sqrt{7}+3\sqrt{6}\)

= \(5\sqrt{6}\)

Ta có :\(2x+yz=\left(x+y+z\right)x+yz=x^2+xy+xz+yz=x\left(x+y\right)+z\left(x+y\right)=\left(x+y\right)\left(x+z\right)\)

\(\Rightarrow\sqrt{2x+yz}=\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\le\dfrac{\left(x+y\right)+\left(x+z\right)}{2}\)(bất đẳng thức cô si)

Cm tương tự :\(\sqrt{2y+xz}\le\dfrac{\left(y+x\right)+\left(y+z\right)}{2}\)

\(\sqrt{2z+xy}\le\dfrac{\left(z+y\right)+\left(z+x\right)}{2}\)

Do đó :P\(\le\dfrac{4\left(x+y+z\right)}{2}=2\left(x+y+z\right)=2\times2=4\)

Dấu "=" xảy ra khi :x=y=z=\(\dfrac{2}{3}\)

Vây giá trị lớn nhất của P=\(\sqrt{2x+yz}+\sqrt{2y+xz}+\sqrt{2z+xy}\) với x+y+z=2 và x,y,z\(\ge0\) là 4 khi x=y=z=\(\dfrac{2}{3}\)

Ta có :x+y\(\ge2\sqrt{xy}\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}\right)^2+\left(\sqrt{y}\right)^2+2\sqrt{x}\sqrt{y}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2\ge0\)(luôn đúng với mọi x,y\(\ge0\))

Dấu"+" xảy ra khi:\(\sqrt{x}=\sqrt{y}\Leftrightarrow x=y\)

Vậy với mọi x,y\(\ge0\) thì x+y\(\ge2\sqrt{xy}\)

đong 2 bạn đổi lại dấu +\(2\sqrt{xy}\) thành -\(2\sqrt{xy}\) giùm mình

\(\left\{a;b\right\}=\left\{2;3\right\};c=17\)

\(P=x-2\sqrt{xy}+3y-2\sqrt{x}+1\)

\(\Leftrightarrow3P=3x-6\sqrt{xy}+9y-6\sqrt{x}+3\)

\(=\left(x-6\sqrt{xy}+9y\right)+\left(2x-\dfrac{2.\sqrt{2}.3.\sqrt{x}}{\sqrt{2}}+\dfrac{9}{2}\right)-\dfrac{3}{2}\)

\(=\left(\sqrt{x}-3\sqrt{y}\right)^2+\left(\sqrt{2x}-\dfrac{3}{\sqrt{2}}\right)^2-\dfrac{3}{2}\ge-\dfrac{3}{2}\)

\(\Rightarrow P\ge-\dfrac{1}{2}\)

Vậy GTNN là \(P=-\dfrac{1}{2}\) đạt được khi \(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{9}{4}\\y=\dfrac{1}{4}\end{matrix}\right.\)

tách như nầy nè

\(\dfrac{1}{\left(a^2+b^2\right)+\left(b^2+1\right)+2}\le\dfrac{1}{2ab+2b+2}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{ab+b+1}\right)\)