Bài 2: Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn. Luyện tập

\(\sqrt{x+2-3\sqrt{2x-5}}+\sqrt{x-2-\sqrt{2x-5}}=\sqrt{8}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{2x+4-6\sqrt{2x-5}}+\sqrt{2x-4-2\sqrt{2x-5}}=4\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(\sqrt{2x-5}-3\right)^2}+\sqrt{\left(\sqrt{2x-5}-1\right)^2}=4\)

\(\Leftrightarrow\left|\sqrt{2x-5}-3\right|+\left|\sqrt{2x-5}-1\right|=4\) (1)

(~ ~ ~) Với \(\dfrac{5}{2}\le x< 3\)

\(\left(1\right)\Leftrightarrow4-2\sqrt{2x-5}=4\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{2x-5}=0\)

\(\Leftrightarrow x=\dfrac{5}{2}\) (nhận)

(~ ~ ~) Với \(3\le x\le7\)

=> pt vô nghiệm

(~ ~ ~) Với 7 < x

\(\left(1\right)\Leftrightarrow2\sqrt{2x-5}-4=4\)

\(\Leftrightarrow4\left(2x-5\right)=64\)

\(\Leftrightarrow x=\dfrac{64+20}{8}\)

\(\Leftrightarrow x=\dfrac{21}{2}\) (nhận)

Vậy \(x\in\left\{\dfrac{5}{2};\dfrac{21}{2}\right\}\)

HPT<=> \(\left\{{}\begin{matrix}x+y=\sqrt{x+3y}\\x^2+y^2+xy=3\end{matrix}\right.\) <=> \(\left\{{}\begin{matrix}x^2+2xy+y^2=x+3y\\x^2+y^2+xy=3\end{matrix}\right.\)

<=> \(xy+3=x+3y\)

<=> \(x\left(1-y\right)-3\left(1-y\right)=0\)

<=> \(\left(x-3\right)\left(y-1\right)=0\)

<=> \(\left[{}\begin{matrix}x=3\\y=1\end{matrix}\right.\) => \(\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}x=3\\y^2+3y+6=0\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}y=1\\x^2+x-2=0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

=> \(\left\{{}\begin{matrix}y=1\\\left(x+1\right)\left(x-2\right)=0\end{matrix}\right.\) => \(\left\{{}\begin{matrix}y=1\\x=1;-2\end{matrix}\right.\) (TM)

Vậy cặp ( x;y) cần tìm là ( 1;1) , ( -2;1)

a)\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{10}{\sqrt{12x-3}}+\dfrac{5}{\sqrt{4y+1}}=1\\\dfrac{7}{\sqrt{12x-3}}+\dfrac{8}{\sqrt{4y+1}}=1\end{matrix}\right.\)

ĐK: \(x>\dfrac{1}{4};y>-\dfrac{1}{4}\), đặt \(a=\dfrac{1}{\sqrt{12x-3}};b=\dfrac{1}{\sqrt{4y+1}}\)với a,b>0

khi đó, ta có hệ phương mới \(\left\{{}\begin{matrix}10a+5b=1\\7a+8b=1\end{matrix}\right.\)

\(\left\{{}\begin{matrix}10a+5b=1\\7a+8b=1\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}80a+40b=8\\35a+40b=5\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}45a=3\\35a+40b=5\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{1}{15}\\35a+40b=5\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{1}{15}\\35.\dfrac{1}{15}+40b=5\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{1}{15}\\b=\dfrac{1}{15}\end{matrix}\right.\)

thay \(\dfrac{1}{\sqrt{12x-3}}=a\) hay \(\dfrac{1}{\sqrt{12x-3}}=\dfrac{1}{15}\Rightarrow\sqrt{12x-3}=15\Leftrightarrow12x-3=225\Leftrightarrow12x=228\Leftrightarrow x=19\left(TMĐK\right)\) thay \(\dfrac{1}{\sqrt{4y+1}}=b\) hay

\(\dfrac{1}{\sqrt{4y+1}}=\dfrac{1}{15}\Rightarrow\sqrt{4y+1}=15\Leftrightarrow4y+1=225\Leftrightarrow4y=224\Leftrightarrow y=56\left(TMĐK\right)\)

Vậy (x;y)=(9;56) là nghiệm duy nhất của hệ phương trình đã cho.

b)\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=4\\x\left(1+4y\right)+y=2\end{matrix}\right.\)

ĐK: x,y#0, khi đó \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=4\Rightarrow x+y=4xy\)

Do đó \(x\left(1+4y\right)+y=2\Leftrightarrow x+4xy+y=2\Leftrightarrow x+x+y+y=2\Leftrightarrow2\left(x+y\right)=2\Leftrightarrow x+y=1\)

Mà \(4xy=x+y\Leftrightarrow4xy=1\Leftrightarrow xy=\dfrac{1}{4}\)

Vậy \(x+y=1;xy=\dfrac{1}{4}\)

Do đó x,y là nghiệm của phương trình:

\(t^2-t+\dfrac{1}{4}=0\)

\(\Delta=b^2-4ac=1-4.1.\dfrac{1}{4}=0\)

Phương trình có nghiêm kép \(x_1=x_2=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{-1}{2}=\dfrac{1}{2}\)

\(\Rightarrow x=y=\dfrac{1}{2}\left(nhận\right)\)

Vậy (x;y)=\(\left(\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}\right)\) là nghiệm duy nhất của hệ phương trình đã cho.

c)\(\left\{{}\begin{matrix}x^2+x+1=3y\\y^2+y+1=3x\end{matrix}\right.\)

Trừ vế đối vế hai phương trình, ta được:

\(x^2+x+1-y^2-y-1=3y-3x\\ \Leftrightarrow x^2-y^2+4x+4y=0\\ \Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x+y\right)+4\left(x-y\right)=0\\ \Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x+y+4\right)=0\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-y=0\\x+y+4=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=y\\y=-x-4\end{matrix}\right.\)

+Với x=y thế vào \(x^2+x+1=3y\) ta được

\(x^2+x+1=3x\Leftrightarrow x^2-2x+1=0\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2=0\Leftrightarrow x-1=0\Leftrightarrow x=1\)

Do đó (x;y)=(1;1) là một nghiệm của hệ phương trình đã cho.

+Với y=-x-4 thế vào \(x^2+x+1=3y\) ta được

\(x^2+x+1=3\left(-x-4\right)\Leftrightarrow x^2+4x+13=0\Leftrightarrow\left(x+2\right)^2+9=0\)(*)

Mặt khác \(\left(x+2\right)^2\ge0\Rightarrow\left(x+2\right)^2+9\ge0\Rightarrow\left(x+2\right)^2\ge-9>0\), do đó phương trình (*) vô nghiệm

Vậy (x;y)=(1;1) là nghiệm duy nhất của hệ phương trình đã cho.

Bài 3:

Chu vi hình chữ nhật là 140cm nên AB+AD=70cm

mà AB-AD=10cm

nên AB=(70+10):2=40(cm)

=>AD=30(cm)

=>BD=50cm

Xét ΔABD vuông tại A có \(\sin ABD=\dfrac{AD}{BD}=\dfrac{3}{5}\)

nên \(\widehat{ABD}\simeq37^0\)

1, \(\left\{{}\begin{matrix}x+\dfrac{1}{y}=2\\y+\dfrac{1}{z}=2\\z+\dfrac{1}{x}=2\end{matrix}\right.\) => x+y+z+\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\)=6. Mà \(\left(x+\dfrac{1}{x}\right)+\left(y+\dfrac{1}{y}\right)+\left(z+\dfrac{1}{z}\right)\ge2+2+2=6\left(Cô-si\right)\). Dấu "=" xảy ra khi x²=y²=z²=1 và x,y,z >0 => x=y=z=1 Vậy.... Bài này phải cho đk x,y,z>0

2, Ta có : x+y+xy=19 <=> (x+1)(y+1)=20 (1) y+z+yz=11 <=> (y+1)(z+1)=12 (2) z+x+zx=14 <=> (z+1)(x+1)=15 (3) => (x+1)²(y+1)²(z+1)²=3600 => (x+1)(y+1)(z+1)=60 (*) ( bài này cx phải có ddk x,y,z) . Chia (*) với (1),(2),(3) ta có : z+1=3, x+1=5, y+1=4 <=> x=4,y=3,z=2

Lời giải:

Bạn nên thêm điều kiện \(n\in\mathbb{N}\)

Phản chứng, giả sử tồn tại \(p\in \mathbb{P}\) sao cho:

\(\left\{\begin{matrix} a=2^n+3^n\vdots p\\ b=2^{n+1}+3^{n+1}\vdots p\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 2a=2^{n+1}+2.3^n\vdots p\\ b=2^{n+1}+3^{n+1}\vdots p\end{matrix}\right.\Rightarrow 3^{n+1}-2.3^n\vdots p\)

\(\Leftrightarrow 3^n\vdots p\). Vì \(p\in\mathbb{P}\Rightarrow p=3\)

Thay vào, \(2^{n+1}+3^{n+1}\vdots 3\) . Với \(n+1\in \mathbb{N}^*\) thì \(3^{n+1}\) luôn chia hết cho $3$, do đó \(2^{n+1}\vdots 3\) (vô lý)

Vậy không tồn tại ước chung nào giữa $a,b$. Do đó $a,b$ nguyên tố cùng nhau.

\(\Delta\)' = \(\left(m-1\right)^2-\left(m+1\right)\) = \(m^2-2m+1-m-1=m^2-3m\)

phương trình có 2 nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow\) \(\Delta\) \(>0\)

\(\Leftrightarrow\) \(m^2-3m>0\) \(\Leftrightarrow\) \(m\left(m-3\right)>0\) \(\Leftrightarrow\) \(m>3\) hoặc \(m< 0\)