Bài 1: Định lý Talet trong tam giác

a: AB//CD

=>\(\dfrac{KA}{KC}=\dfrac{KB}{KD}\)

=>\(KA\cdot KD=KB\cdot KC\)

b: 

a: Xét ΔKAB và ΔKCD có

\(\widehat{KAB}=\widehat{KCD}\)(hai góc so le trong, AB//CD)

\(\widehat{AKB}=\widehat{CKD}\)(hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔKAB đồng dạng với ΔKCD

=>\(\dfrac{KA}{KC}=\dfrac{KB}{KD}\)

=>\(KA\cdot KD=KB\cdot KC\)

b: Ta có: \(\dfrac{KA}{KC}=\dfrac{KB}{KD}\)

=>\(\dfrac{KC}{KA}=\dfrac{KD}{KB}\)

=>\(\dfrac{KC}{KA}+1=\dfrac{KD}{KB}+1\)

=>\(\dfrac{KC+KA}{KA}=\dfrac{KD+KB}{KB}\)

=>\(\dfrac{AC}{KA}=\dfrac{BD}{KB}\)

=>\(\dfrac{AK}{AC}=\dfrac{BK}{BD}\left(1\right)\)

Xét ΔADC có IK//DC

nên \(\dfrac{AK}{AC}=\dfrac{IK}{DC}\left(2\right)\)

Xét ΔBDC có KQ//DC

nên \(\dfrac{KQ}{DC}=\dfrac{BK}{BD}\left(3\right)\)

Từ (1),(2),(3) suy ra IK=KQ

AQ:CQ=5:8

=>\(\dfrac{AQ}{5}=\dfrac{CQ}{8}\)

mà CQ-AQ=9

nên Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\dfrac{AQ}{5}=\dfrac{CQ}{8}=\dfrac{CQ-AQ}{8-5}=\dfrac{9}{3}=3\)

=>\(AQ=5\cdot3=15cm;CQ=8\cdot3=24cm\)

Xét tứ giác ADME có

\(\widehat{ADM}=\widehat{AEM}=\widehat{DAE}=90^0\)

=>ADME là hình chữ nhật

=>AM=DE

Hình 1:

Xét ΔABC có MN//BC

nên \(\dfrac{AM}{MB}=\dfrac{AN}{NC}\)

=>\(\dfrac{x}{3}=\dfrac{3}{4}\)

=>\(x=\dfrac{3}{4}\cdot3=2,25\)

Hình 2:

EH+HD=ED

=>ED=0,5+1,5=2

Xét ΔEFD có GH//FD

nên \(\dfrac{EG}{EF}=\dfrac{EH}{ED}\)

=>\(\dfrac{0.75}{EF}=\dfrac{0.5}{2}=\dfrac{1}{4}\)

=>EF=0,75*4=3

=>y=3

Hình 3:

Xét ΔMNI có KT//NI

nên \(\dfrac{MK}{MN}=\dfrac{MT}{MI}\)

=>\(\dfrac{6}{MN}=\dfrac{3.5}{10}\)

=>\(MN=6\cdot\dfrac{10}{3.5}=\dfrac{60}{3.5}=\dfrac{120}{7}\)

=>\(z=\dfrac{120}{7}\)

Bài 1:

a: Xét tứ giác ABDC có

I là trung điểm của AD và BC

=>ABDC là hình bình hành

Hình bình hành ABDC có AB=AC

nên ABDC là hình thoi

b: ABDC là hình thoi

=>AD\(\perp\)BC tại trung điểm của mỗi đường

=>AD\(\perp\)BC tại I và I là trung điểm chung của AD và BC

Xét tứ giác AIEB có

K là trung điểm chung của AE và IB

=>AIEB là hình bình hành

=>AI//EB và AI=EB

AI//EB

I\(\in\)AD

Do đó: ID//BE

AI=EB

AI=ID

Do đó: EB=ID

Xét tứ giác BIDE có

ID//BE

ID=BE

Do đó: BIDE là hình bình hành

Hình bình hành BIDE có \(\widehat{BID}=90^0\)

nên BIDE là hình chữ nhật

c: BIDE là hình chữ nhật

=>BI//DE và BI=DE

BI//DE

I\(\in\)BC

Do đó: CI//DE

BI=DE

BI=CI

Do đó: DE=CI

Xét tứ giác DEIC có

DE//CI

DE=CI

Do đó: DEIC là hình bình hành

=>DI cắt EC tại trung điểm của mỗi đường

=>M là trung điểm của EC

Xét ΔDAC có MI//AC
nên \(\dfrac{DI}{DC}=\dfrac{DM}{DA}\)

mà \(\dfrac{DM}{DA}=\dfrac{BN}{BC}\)

nên \(\dfrac{DI}{DC}=\dfrac{DM}{DA}=\dfrac{BN}{BC}\)

=>Các tỉ số bằng với tỉ số DI/DC là \(\dfrac{DM}{DA};\dfrac{BN}{BC}\)

a: Kẻ ME//BQ(E\(\in\)AB), NF//BQ(F\(\in\)AB),PO//BQ(O\(\in AB\))

Khi kẻ hình như vậy thì ta sẽ được AE=EF=FO=OB=AB/4

=>Ta sẽ được 4 đoạn bằng nhau cần chia

b: Giải thích:

Theo hình vẽ ban đầu, ta sẽ có được:

\(AM=MN=NP=PQ=\dfrac{AQ}{4}\)

AM=MN nên M là trung điểm của AN

=>\(AM=\dfrac{1}{2}AN\)

NP=PQ

=>P là trung điểm của NQ

Xét ΔABC có EM//BQ

nên \(\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AM}{AQ}=\dfrac{1}{4}\)

=>\(AE=\dfrac{1}{4}AB\)

Xét ΔABQ có NF//BQ

nên \(\dfrac{AF}{AB}=\dfrac{AN}{AQ}\)

=>\(\dfrac{AF}{AB}=\dfrac{1}{2}\)

=>\(AF=\dfrac{1}{2}AB\)

mà \(AE=\dfrac{1}{4}AB\)

nên \(\dfrac{AF}{AE}=\dfrac{1}{2}:\dfrac{1}{4}=2\)

=>AF=2AE

=>E là trung điểm của AF

=>EF=AE=1/4AB

AF+FB=AB

=>\(FB+\dfrac{1}{2}AB=AB\)

=>\(FB=\dfrac{1}{2}AB\)

Xét hình thang FNQB có

P là trung điểm của NQ

PO//FN//BQ

Do đó: O là trung điểm của FB

=>\(OF=OB=\dfrac{BF}{2}=\dfrac{1}{4}AB\)

=>\(AE=EF=FO=OB=\dfrac{1}{4}AB\)(ĐPCM)