Bài 1: Căn bậc hai

\(M=\sqrt{\dfrac{a}{b+c+2a}}+\sqrt{\dfrac{b}{c+a+2b}}+\sqrt{\dfrac{c}{a+b+2c}}\)

\(\le\dfrac{1}{4}+\dfrac{a}{b+c+2a}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{b}{c+a+2b}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{c}{a+b+2c}\)

\(\le\dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{a}{a+c}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{b}{a+b}+\dfrac{c}{c+a}+\dfrac{c}{b+c}\right)\)

\(=\dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{4}.\left(1+1+1\right)=\dfrac{3}{2}\)

Thay \(a=b=c=0,25\)thì ta có:

\(\dfrac{1}{\sqrt{0,25}}+\dfrac{1}{\sqrt{0,25}}+\dfrac{2\sqrt{2}}{\sqrt{0,25}}\approx9,657\)

\(\dfrac{8}{0,25+0,25+0,25}\approx10,667\)

Vậy đề sai

Câu 1/ Ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x^2-4x+5}=\sqrt{\left(x-2\right)^2+1}\ge1\\\sqrt{x^2-4x+8}=\sqrt{\left(x-2\right)^2+4}\ge2\\\sqrt{x^2-4x+9}=\sqrt{\left(x-2\right)^2+5}\ge\sqrt{5}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow VT\ge1+2+\sqrt{5}=VP\)

Dấu = xảy ra khi x = 2

PS: Câu còn lại thì chỉ cần phân tích cái trong căn thành số chính phương là xong.

Câu 2/ Sửa đề

\(\sqrt{x+3-4\sqrt{x-1}}+\sqrt{x+8+6\sqrt{x-1}}=5\)

Điều kiện: \(x\ge1\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(x-1\right)-4\sqrt{x-1}+4}+\sqrt{\left(x-1\right)+6\sqrt{x-1}+9}=5\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(\sqrt{x-1}-2\right)^2}+\sqrt{\left(\sqrt{x-1}+3\right)^2}=5\)

\(\Leftrightarrow\left|\sqrt{x-1}-2\right|+\sqrt{x-1}+3=5\)

Tới đây thì đơn giản rồi

đề bài là không dùng máy tính ; hoặc là không khai căn chứ

\(A^2=100.51\)

\(B^2=70^2+2+2.70.\sqrt{2}\)

\(B^2-A^2=70^2-\left(10.7\right)^2+\left(2-2.100\right)+2.70\sqrt{2}\)

\(B^2-A^2=2.70\sqrt{2}-2.99=2\left(70\sqrt{2}-99\right)\)

\(C=70.\sqrt{2};D=99\)

\(C^2=2.70^2\)

\(D^2=99^2=\left(70+29\right)^2\)

\(C^2-D^2=2.70^2-\left(70^2+2.70.29+29^2\right)=70^2-2.70.29-29^2=\left(70-29\right)^2-2.29^2=41^2-2.29^2\)\(C^2-D^2=\left(29+12\right)^2-2.29^2=29^2+12^2+2.29.12=12^2+2.29.12-29^2\)\(C^2-D^2=12^2+2.29.12-12^2-17^2-2.12.17\)\(C^2-D^2=2.12\left(29-17\right)-17^2=2.12^2-17^2\)

\(C^2-D^2=2.12^2-12^2-5^2-2.5.12=12^2-2.5.12-5^2\)

\(C^2-D^2=\left(12-5\right)^2-2.5^2=7^2-2.5^2\)

\(C^2-D^2=5^2+2.2.5+2^2-2.5^2=4.5-5^2+2^2\)

\(C^2-D^2=5\left(4-5\right)+4=4+5.\left(-1\right)=4-5=-1\)

........

=> C^2 -D^2 <0

=>C,D >0

=> C<D => C-D<0

=> B^2 -A^2 <0

A,B >0

=> B<A

kết luận

B<A

\(A=10\sqrt{51}\); \(B=70+\sqrt{2}\)

Ta có: \(A^2=5100\)

\(B^2=4900+140\sqrt{2}+2\)

So sánh \(198\) và \(140\sqrt{2}\) vì vì trừ 2 vế cho 4902.

Ta có: \(198^2=39204\)

\(\left(140\sqrt{2}\right)^2=39200\)

Vậy A > B (đpcm)

ta có :

\(A^2=\left(10\sqrt{51}\right)^2=100\cdot51=5100\)

\(B^2=\left(70+\sqrt{2}\right)^2=4900+140\sqrt{2}+2=4902+140\sqrt{2}\)

Cùng trừ 2 vế cho 4902 ta dc:

\(A^2=5100-4902=198\)

\(B^2=4902+140\sqrt{2}-4902=140\sqrt{2}\)

ta có :

A= \(198^2=39204\)

B= \(\left(140\sqrt{2}\right)^2=39200\)

vì 39204>39200 nên 10\(\sqrt{51}\)>70+\(\sqrt{2}\)

vậy A>B

Cái bài này bình thường :v

Đặt \(A=\dfrac{x^3}{y^3+8}+\dfrac{y^3}{z^3+8}+\dfrac{z^3}{x^3+8}\)

\(BDT\Leftrightarrow\dfrac{x^3}{y^3+8}+\dfrac{y^3}{z^3+8}+\dfrac{z^3}{x^3+8}-\dfrac{2}{27}\left(xy+yz+xz\right)\ge\dfrac{1}{9}\)

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(\dfrac{x^3}{y^3+8}+\dfrac{y+2}{27}+\dfrac{y^2-2y+4}{27}\)

\(\ge3\sqrt[3]{\dfrac{x^3}{y^3+8}\cdot\dfrac{y+2}{27}\cdot\dfrac{y^2-2y+4}{27}}=\dfrac{x}{3}\)

Tương tự cho 2 BĐT còn lại cũng có:

\(\dfrac{y^3}{z^3+8}+\dfrac{z+2}{27}+\dfrac{z^2-2z+4}{27}\ge\dfrac{y}{3};\dfrac{z^3}{x^3+8}+\dfrac{x+2}{27}+\dfrac{x^2-2x+4}{27}\ge\dfrac{z}{3}\)

Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:

\(A+\dfrac{x+y+z+6}{27}+\dfrac{x^2+y^2+z^2-2\left(x+y+z\right)+12}{27}\ge\dfrac{x+y+z}{3}\)

\(\Leftrightarrow A+\dfrac{9}{27}+\dfrac{\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{3}+6}{27}\ge1\)\(\Leftrightarrow A\ge\dfrac{1}{3}\)

Cần chứng minh \(VT=A-\dfrac{2}{27}\left(xy+yz+xz\right)\ge\dfrac{1}{9}=VP\)

\(\Leftrightarrow VT=\dfrac{1}{3}-\dfrac{2\cdot\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{3}}{27}=\dfrac{1}{9}=VP\) (đúng)

Xảy ra khi \(x=y=z=1\)

P/s:Trình bày hơi khó hiểu, thông cảm :v

Akai HarumaAce Legona

( Bài này làm hồi lớp 9 rồi )

Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z=1\)

Bạn xem ở đây nhé Câu hỏi của Trai Vô Đối - Toán lớp 9 | Học trực tuyến

ĐẶT \(\sqrt{X}=a,\sqrt{x-1}=b\)

=> PHƯƠNG TRÌNH TRÊN TƯƠNG ĐƯƠNG VỚI:

\(a+b+ab=1\)

<=>\(a+1+b\left(a+1\right)=2\)

<=> (a+1)(b+1) = 2

<=> a = 1

<=> x = 1

đặt ẩn

đặt ẩn bn ơi