Bài 8: Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai

\(\dfrac{1}{\sqrt{x}+3}-\dfrac{\sqrt{x}-3}{x-9}\)

\(=\dfrac{1}{\sqrt{x}+3}-\dfrac{\left(\sqrt{x}-3\right)}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}\)

\(=\dfrac{1}{\sqrt{x}+3}-\dfrac{1}{\sqrt{x}+3}=0\)

\(\sqrt{x^2-9}-3\sqrt{x-3}=0\\ \Leftrightarrow\sqrt{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}-3\sqrt{x-3}=0\\ \Leftrightarrow\sqrt{x-3}\cdot\sqrt{x+3}-3\sqrt{x-3}=0\\ \Leftrightarrow\left(\sqrt{x-3}\right)\left(\sqrt{x+3}-3\right)=0\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\sqrt{x-3}=0\\\sqrt{x+3}-3=0\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\sqrt{x-3}=0\\\sqrt{x+3}=3\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x-3=0\\x+3=9\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=3\\x=6\end{matrix}\right.\)

Sửa đề: \(\sqrt{x^2-9}-3\sqrt{x-3}=0\)

ĐKXĐ: \(\left\{{}\begin{matrix}x^2-9>=0\\x-3>=0\end{matrix}\right.\)

=>x>=3

\(\sqrt{x^2-9}-3\sqrt{x-3}=0\)

=>\(\sqrt{x-3}\cdot\sqrt{x+3}-3\sqrt{x-3}=0\)

=>\(\sqrt{x-3}\left(\sqrt{x+3}-3\right)=0\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}x-3=0\\x+3=9\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=3\left(nhận\right)\\x=6\left(nhận\right)\end{matrix}\right.\)

ĐKXĐ: x ≥ 3

Phương trình tương đương:

√[(x - 3)(x + 3)] - 3√(x - 3) = 0

⇔ √(x - 3)[√(x + 3) - 3] = 0

⇔ √(x - 3) = 0 hoặc √(x + 3) - 3 = 0

*) √(x - 3) = 0

⇔ x - 3 = 0

⇔ x = 3 (nhận)

*) √(x + 3) - 3 = 0

⇔ √(x + 3) = 3

⇔ x + 3 = 9

⇔ x = 9 - 3

⇔ x = 6 (nhận)

Vậy S = {3; 6}

b.

\(K\ge x^3\) \(\Leftrightarrow-x\ge x^3\)

\(\Leftrightarrow x^3+x\le0\)

\(\Leftrightarrow x\left(x^2+1\right)\le0\)

\(\Leftrightarrow x\le0\) (do \(x^2+1>0;\forall x\))

Kết hợp ĐKXĐ \(x\ge0\)

\(\Rightarrow x=0\)

Câu a đúng nha

b) Giả sử: x thỏa mãn \(K\ge x^3\) là \(x\le0\)

(1) : x=0

\(< =>-0=0^3\)

\(< =>0=0\)(Luôn đúng)

(2):x<0

\(< =>-\left(-x\right)>\left(-x\right)^3\)

\(< =>x>\left(-x\right)^3\)( Luôn đúng do \(\left(-x\right)^3\) luôn âm)

(1)(2) => Để thỏa mãn \(K\ge x^3\) thì \(x\le0\)

ĐKXĐ: x ≥ 3

Phương trình tương đương:

7√(x - 3) - 2.2√(x - 3) = 12

⇔ 7√(x - 3) - 4√(x - 3) = 12

⇔ 3√(x - 3) = 12

⇔ √(x - 3) = 12 : 3

⇔ √(x - 3) = 4

⇒ x - 3 = 16

⇔ x = 16 + 3

⇔ x = 19 (nhận)

Vậy S = {19}

\(7\sqrt{x-3}-2\sqrt{4x-12}=12\\ \Leftrightarrow7\sqrt{x-3}-2\sqrt{4\left(x-3\right)}=12\\ \Leftrightarrow7\sqrt{x-3}-4\sqrt{x-3}=12\\ \Leftrightarrow3\sqrt{x-3}=12\\ \Leftrightarrow\sqrt{x-3}=\dfrac{12}{3}\\ \Leftrightarrow\sqrt{x-3}=4\\ \Leftrightarrow\left(\sqrt{x-3}\right)^2=4^2\\ \Leftrightarrow x-3=16\\ \Leftrightarrow x=16+3\\ \Leftrightarrow x=19.\)

\(\sqrt{13^2}=\left|13\right|=13\)

a: Xét ΔABO vuông tại B có \(cosBOA=\dfrac{BO}{OA}=\dfrac{R}{2R}=\dfrac{1}{2}\)

nên \(\widehat{BOA}=60^0\)

b: ΔOBC cân tại O

mà OA là đường cao

nên OA là phân giác của góc BOC

Xét ΔOBA và ΔOCA có

OB=OC

\(\widehat{BOA}=\widehat{COA}\)

OA chung

Do đó: ΔOBA=ΔOCA

=>\(\widehat{OBA}=\widehat{OCA}\)

=>\(\widehat{OCA}=90^0\)

c: Gọi I là giao điểm của CO với BD

Ta có: BD//AC

OC\(\perp\)AC

Do đó: OC\(\perp\)BD tại I

=>OI là khoảng cách từ O xuống BD

OC\(\perp\)CA

=>OC là khoảng cách từ O xuống AC

Vì BD//AC và I,O,C thẳng hàng

nên khoảng cách từ BD đến AC sẽ là khoảng cách từ I đến C

=>Khoảng cách từ BD đến AC là IC

Ta có: ΔBOA=ΔCOA

=>\(\widehat{BOA}=\widehat{COA}\)

=>\(\widehat{COA}=60^0\)

Ta có: \(\widehat{ACH}+\widehat{CAH}=90^0\)(ΔACH vuông tại H)

\(\widehat{OCA}+\widehat{OAC}=90^0\)(ΔOCA vuông tại C)

Do đó: \(\widehat{ACH}=\widehat{OCA}=60^0\)

BD//AC

=>\(\widehat{DBC}=\widehat{BCA}\)(hai góc so le trong)

=>\(\widehat{DBC}=60^0\)

\(\widehat{BOC}=\widehat{BOA}+\widehat{COA}=60^0+60^0=120^0\)

Xét (O) có \(\widehat{BDC}\) là góc nội tiếp chắn cung BC

nên \(\widehat{BDC}=\dfrac{\widehat{BOC}}{2}=\dfrac{120^0}{2}=60^0\)

Xét ΔBDC có \(\widehat{BDC}=\widehat{DBC}=60^0\)

nên ΔBDC đều

Ta có: ΔOBA vuông tại B

=>\(BO^2+BA^2=OA^2\)

=>\(BA=\sqrt{\left(2R\right)^2-R^2}=R\sqrt{3}\)

Xét ΔBOA vuông tại B có BH là đường cao

nên \(BH\cdot OA=BO\cdot BA\)

=>\(BH=\dfrac{R\cdot R\sqrt{3}}{2R}=\dfrac{R\sqrt{3}}{2}\)

ΔOBC cân tại O

mà OH là đường cao

nên H là trung điểm của BC

=>\(BC=2\cdot BH=R\sqrt{3}\)

Xét ΔBDC đều có CI là đường cao

nên \(CI=BC\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=R\sqrt{3}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{3R}{2}\)

=>Khoảng cách từ dây AC đến dây BD là 3R/2

1: \(A=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}+\dfrac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}-\dfrac{3x+9}{x-9}\)

\(=\dfrac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-3\right)+2\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+3\right)-3x-9}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}\)

\(=\dfrac{x-3\sqrt{x}+2x+6\sqrt{x}-3x-9}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}\)

\(=\dfrac{3\sqrt{x}-9}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}=\dfrac{3}{\sqrt{x}+3}\)

2: \(A=\dfrac{1}{3}\)

=>\(\dfrac{3}{\sqrt{x}+3}=\dfrac{1}{3}\)

=>\(\sqrt{x}+3=3\cdot3=9\)

=>\(\sqrt{x}=9-3=6\)

=>x=36(nhận)

3: \(\sqrt{x}+3>=3\forall x\) thỏa mãn ĐKXĐ

=>\(A=\dfrac{3}{\sqrt{x}+3}< =\dfrac{3}{3}=1\forall x\) thỏa mãn ĐKXĐ

Dấu '=' xảy ra khi x=0

\(\left\{{}\begin{matrix}\left(x-1\right)\left(y+1\right)=xy-1\\\left(x-2\right)\left(y-2\right)=xy-8\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}xy+x-y-1=xy-1\\xy-2x-2y+4=xy-8\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x-y=0\\-2x-2y=-12\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x-2y=0\\2x+2y=12\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}4x=12\\x-y=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=3\\y=x=3\end{matrix}\right.\)

\(\left\{{}\begin{matrix}\left(x-1\right)\left(y+1\right)=xy-1\\\left(x-2\right)\left(y-2\right)=xy-8\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}xy+x-y-1=xy-1\\xy-2x-2y+4=xy-8\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-y=0\\x+y=6\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=3\\y=3\end{matrix}\right.\)

a: \(M=\dfrac{2\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}-1}-\dfrac{3\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}\)

\(=\dfrac{2\left(\sqrt{x}-1\right)}{\sqrt{x}-1}-\dfrac{3\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}\)

\(=2-\dfrac{3\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}=\dfrac{2\left(\sqrt{x}+1\right)-3\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}\)

\(=\dfrac{2\sqrt{x}+2-3\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}=\dfrac{-\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+1}\)

b: Khi x=25 thì \(M=\dfrac{-\sqrt{25}+2}{\sqrt{25}+1}=\dfrac{-5+2}{5+1}=\dfrac{-3}{6}=-\dfrac{1}{2}\)

\(A=\left(\dfrac{1}{x+2\sqrt{x}}-\dfrac{1}{\sqrt{x}+2}\right):\dfrac{1-\sqrt{x}}{x+4\sqrt{x}+4}\left(x>0;x\ne1\right)\)

\(A=\left[\dfrac{1}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+2\right)}-\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+2\right)}\right]:\dfrac{1-\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}\right)^2+2\cdot\sqrt{x}\cdot2+2^2}\)

\(A=\dfrac{1-\sqrt{x}}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+2\right)}:\dfrac{1-\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}+2\right)^2}\)

\(A=\dfrac{1-\sqrt{x}}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+2\right)}\cdot\dfrac{\left(\sqrt{x}+2\right)^2}{1-\sqrt{x}}\)

\(A=\dfrac{\left(\sqrt{x}+2\right)^2}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+2\right)}\)

\(A=\dfrac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}}\)

Vậy: ...