Bài 3: Lôgarit

B)

Đây là trắc nghiệm đúng không. Vậy thì 4 đáp án a,b,c,d đâu rồi. Không thể tính ra số cụ thể đâu. Nhưng có thể biểu diễn theo biến.

Giả thiết của đề bài như bị thiếu.

\(a^2+b^2=\left(a+b\right)^2-2ab=8ab\)

\(\Rightarrow\left(a+b\right)^2=10ab\)

\(log\left(a+b\right)=\dfrac{1}{2}log\left(\left(a+b\right)^2\right)=\dfrac{1}{2}log\left(10ab\right)\)

\(=\dfrac{1}{2}\left(log\left(a\right)+log\left(b\right)+log10\right)=\dfrac{loga+logb+1}{2}\)

Bạn dò thử coi có đáp án không nha! :D

Câu 47:

Ta có \(\log_3\frac{1-xy}{x+2y}=3xy+x+2y-4\)

\(\Leftrightarrow \log_3(1-xy)-\log_3(x+2y)=3(xy-1)-1+(x+2y)\)

\(\Leftrightarrow \log_3(3-3xy)+(3-3xy)=\log_3(x+2y)+(x+2y)\)

Xét hàm \(f(x)=\log_3x+x\Rightarrow f'(x)=\frac{1}{x\ln 3}+1>0\) với \(x>0\)

Do đó , hàm là hàm đồng biến trên TXĐ

\(\Rightarrow f(3-3xy)=f(x+2y)\Leftrightarrow 3-3xy=x+2y\)

\(\Leftrightarrow y=\frac{3-x}{3x+2}\). Vì \(x,y>0\Rightarrow \frac{3-x}{3x+2}>0\Rightarrow 0< x< 3\)

Ta có \(P=x+\frac{3-x}{3x+2}\)

\(P'=\frac{9x^2+12x-7}{(3x+2)^2}=0\Leftrightarrow x=\frac{-2+\sqrt{11}}{3}\) (chọn) hoặc \(x=\frac{-2-\sqrt{11}}{3}\) (loại vì $x>0$)

Lập bảng biến thiên ta suy ra \(P_{\min}=P(\frac{-2+\sqrt{11}}{3})=\frac{-3+2\sqrt{11}}{3}\)

Đáp án D

Bài 48:

PT hoành độ giao điểm:

\(x^3-3x^2+x+2-(mx-m+1)=0\)

\(\Leftrightarrow (x-1)(x^2-2x-1-m)=0\)

Để hai đths cắt nhau tại ba điểm phân biệt thì pt trên phải có ba nghiệm phân biệt, tức là \(x^2-2x-(m+1)=0\) có hai nghiệm phân biệt khác 1

\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 1-2-(m+1)\neq 0\\ \Delta'=1+(m+1)>0\end{matrix}\right.\Rightarrow m> -2\)

Gọi \(x_1,x_2\) là hai nghiệm của pt trên thì \(x_1,x_2=\frac{-b'\pm \sqrt{\Delta'}}{a}=1\pm \sqrt{m+2}\)

Do đề bài không yêu cầu thứ tự các điểm, nên ta đặt ba giao điểm của 2 đths là:

\(A(1;1)\)

\(B(x_1; mx_1-m+1)\)

\(C(x_2;mx_2-m+1)\)

(miễn sao thỏa mãn tồn tại 2 đoạn thẳng tạo bởi 2 trong 3 điểm trên có độ dài bằng nhau)

Ta có:

\(AB=\sqrt{(x_1-1)^2+(mx_1-m)^2}=\sqrt{(x_1-1)^2(m^2+1)}=\sqrt{(m+2)(m^2+1)}\)

\(AC=\sqrt{(x_2-1)^2+(mx_2-m)^2}=\sqrt{(x_2-1)^2(m^2+1)}=\sqrt{(m+2)(m^2+1)}\)

\(BC=.....\)

Nhìn trên thì dễ thấy \(AB=AC\) luôn bằng nhau với mọi \(m>-2\), tức là thỏa mãn đkđb

Vậy \(m>-2 \) hay \(m\in (-2;+\infty)\)

Đáp án D

chưa học nên éo biết làm

Đầu tiên ta chứng minh bổ đề: Với \(x,y\ge2\) thì

\(x+y\le xy\)

\(\Leftrightarrow2xy-2x-2y\ge0\)

\(\Leftrightarrow x\left(y-2\right)+y\left(x-2\right)\ge0\)(đúng)

Ta cần chứng minh:

\(log_{a+b}c^2+log_{b+c}a^2+log_{c+a}b^2\ge3\)

\(\Leftrightarrow log_{a+b}c+log_{b+c}a+log_{c+a}b\ge\dfrac{3}{2}\)

Ta có:

\(log_{a+b}c+log_{b+c}a+log_{c+a}b\)

\(=\dfrac{lna}{ln\left(b+c\right)}+\dfrac{lnb}{ln\left(c+a\right)}+\dfrac{lnc}{ln\left(a+b\right)}\)

\(\ge\dfrac{lna}{ln\left(bc\right)}+\dfrac{lnb}{ln\left(ca\right)}+\dfrac{lnc}{ln\left(ab\right)}\)

\(=\dfrac{lna}{lnb+lnc}+\dfrac{lnb}{lnc+lna}+\dfrac{lnc}{lna+lnb}\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}lna=x\\lnb=y\\lnc=z\end{matrix}\right.\) thì bài toán cần chứng minh trở thành

\(\dfrac{x}{y+z}+\dfrac{y}{z+x}+\dfrac{z}{x+y}\ge\dfrac{3}{2}\)

Đây là bất đẳng thức Nesbit việc chứng minh quá đơn giản nên mình nhường lại cho bạn làm nhé.

chua hc

Lời giải:

Ta có \(\left\{\begin{matrix} \log_ab=\frac{b}{4}\\ \log_2a=\frac{16}{b}\end{matrix}\right.\Rightarrow 4=\log_2a.\log_ab=\log_2b\)

\(\Rightarrow b=16\).

\(\log_2a=\frac{16}{b}=1\Rightarrow a=2\)

Do đó \(a+b=18\). Đáp án D.

em chưa có học

Lời giải:

Đặt \(\log_yx=a,\log_xy=b\). Khi đó ta có:

\(\left\{\begin{matrix} a+b=\frac{10}{3}\\ ab=\log_xy.\log_yx=1\end{matrix}\right.\)

Áp dụng định lý Viete đảo thì \(a,b\) là nghiệm của PT:

\(x^2-\frac{10}{3}x+1=0\) . PT trên có hai nghiệm \(3,\frac{1}{3}\)

Giả sử \(a=\log_yx=3\) và \(b=\log_xy=\frac{1}{3}\)

\(\left\{\begin{matrix} \log_y\left(\frac{144}{y}\right)=3\\ \log_x\left(\frac{144}{x}\right)=\frac{1}{3} \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x=24\sqrt{3}\\ y=2\sqrt{3}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow \frac{x+y}{2}=13\sqrt{3}\). Đáp án D

Lời giải:

Sử dụng công thức \(\log_ab=\frac{\ln b}{\ln a}\)

\(\Rightarrow A=\frac{\ln 2}{\ln 3}.\frac{\ln 3}{\ln 4}.\frac{\ln 4}{\ln 5}....\frac{\ln 15}{\ln 16}\)

\(\Leftrightarrow A=\frac{\ln 2}{\ln 16}=\log_{16}2=\frac{1}{4}\)

Đáp án C.

sao lại tội tình thế

kaka