Bài 2: Tỉ số lượng giác của góc nhọn

a)

Kẻ DH _I_ AB và DK _I_ AC.

\(\widehat{DHA}=\widehat{HAK}=\widehat{AKD}=90^0\)

=> AKDH là hình chữ nhật có AD là đường phân giác

=> AKDH là hình vuông

=> AK = KD = DH = HA

Tam giác KAD vuông cân tại A có:

\(AD=\sqrt{2}AK\)

\(\Rightarrow\dfrac{\sqrt{2}}{AD}=\dfrac{1}{AK}\left(1\right)\)

~*~*~*~*~

\(S_{DAB}+S_{DAC}=S_{ABC}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{2}DH\times AB+\dfrac{1}{2}KD\times AC=\dfrac{1}{2}AB\times AC\)

\(\Leftrightarrow AK\times\left(AB+AC\right)=AB\times AC\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{AB+AC}{AB\times AC}=\dfrac{1}{AK}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{AB}+\dfrac{1}{AC}=\dfrac{1}{AK}\left(2\right)\)

~*~*~*~*~

(1) và (2) => đpcm

b)

Trên đoạn thẳng AB, lấy điểm E sao cho AD = AE.

AD là đường phân giác của tam giác ABC

\(\Rightarrow\widehat{DAB}=\widehat{DAC}=\dfrac{\widehat{BAC}}{2}=\dfrac{120^0}{2}=60^0\)

Tam giác ABC có AD là đường phân giác

=> \(\dfrac{BD}{AB}=\dfrac{DC}{AC}=\dfrac{BD+DC}{AB+AC}=\dfrac{BC}{AB+AC}\) (tính chất của dãy tỉ số bằng nhau)

=> \(\dfrac{BD}{BC}=\dfrac{AB}{AB+AC}\)

Tam giác ADE có: AD = AE, \(\widehat{DAE}=60^0\)

=> Tam giác ADE đều

=> \(\widehat{EDA}=\widehat{DAC}\left(=60^0\right)\) mà chúng nằm ở vị trí so le trong

=> ED // AC

\(\Rightarrow\dfrac{ED}{AC}=\dfrac{BD}{BC}=\dfrac{AB}{AB+AC}\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{AD}=\dfrac{AB+AC}{AB\times AC}=\dfrac{1}{AB}+\dfrac{1}{AC}\left(\text{đ}pcm\right)\left(ED=AD\right)\)

Câu a: tự chứng minh.

Câu b: áp dụng câu a

câu a dùng định lí hàm sin(Trong SGK nhé bạn)

bài này có 2 cách giải nhé

vẽ EM vuông HC

\(\Delta\)AHC có ME // AH ( \(\perp\) HC ) và AM = MC

==> ME là đg trung bình ==> ME = 1/2 AH

lại có BE // BH

==>\(\dfrac{BH}{MC}=\dfrac{OH}{OC}\) (1)

Mặt khắc : AD là pg của BAC hay AO là pg cỏa BAC

==> \(\dfrac{OH}{OC}=\dfrac{AH}{AC}\) (2)

Từ (1) và (2) ==>\(\dfrac{BH}{MC}=\dfrac{AH}{AC}\)

Ta có AB. cos A = AB .\(\dfrac{AH}{AC}\)

BC. cos B=\(\dfrac{BH}{BC}\) . BC

rút BH , AH ra sau thay vào bạn tự lm tiếp nhá

nếu không có chữ tan mọi việc đã khả thi...

\(1+cot^2a=1+\dfrac{cos^2a}{sin^2a}=\dfrac{sin^2a+cos^2a}{sin^2a}=\dfrac{1}{sin^2a}.\)

Hạ đường cao BH

Ta có:

\(S_{\Delta ABC}=\dfrac{1}{2}.BH.AC\)

\(=\dfrac{1}{2}.AB\)\(.\)\(\dfrac{BH}{AB}.AC\)

\(=\dfrac{1}{2}.AB.sin\left(\widehat{A}\right).AC\)( Điều phải chứng minh)

a/ \(1+tan^2a=1+\dfrac{sin^2a}{cos^2a}=\dfrac{sin^2a+cos^2a}{cos^2a}=\dfrac{1}{cos^2a}\)

b/ \(1+cot^2a=1+\dfrac{cos^2a}{sin^2a}=\dfrac{sin^2a+cos^2a}{sin^2a}=\dfrac{1}{sin^2a}\)

Tui sẽ lm!

Đề có bị sai không bạn theo mình thì phải là \(\ge8\) mới đúng

Áp dụng bất đẳng thức cô si cho hai số thực không âm ta có :

\(\dfrac{a^2}{b-1}+4\left(b-1\right)\ge2\sqrt{\dfrac{a^2}{b-1}\times4\left(b-1\right)}=4a\) (1)

\(\dfrac{b^2}{a-1}+4\left(a-1\right)\ge2\sqrt{\dfrac{b^2}{a-1}\times4\left(a-1\right)}=4b\) (2)

Cộng (1) và (2) vế theo vế ,ta được :

\(\dfrac{a^2}{b-1}+\dfrac{b^2}{a-1}+4a+4b-8\ge4a+4b\)

\(\Rightarrow\dfrac{a^2}{b-1}+\dfrac{b^2}{a-1}\ge8\)

Dấu "="xảy ra khi:a=b=2

Vậy \(\dfrac{a^2}{b-1}+\dfrac{b^2}{a-1}\ge8\) với a>1,b>1