Bài 1: Phương trình bậc nhất hai ẩn

a) Để đường thẳng d: (2m-1)x+(m-2)y=m²-3 đi qua gốc tọa độ thì x=y=0

\(\Rightarrow m^2-3=0\Leftrightarrow\left(m-\sqrt{3}\right)\left(m+\sqrt{3}\right)=0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m-\sqrt{3}=0\\m+\sqrt{3}=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=\sqrt{3}\\m=-\sqrt{3}\end{matrix}\right.\)

Vậy khi \(m=\left\{-\sqrt{3};\sqrt{3}\right\}\) thì d đi qua gốc tọa độ.

b) Để đường thẳng d: (2m-1)x+(m-2)y=m²-3 đi qua điểm A thì x=3, y=5.

\(\Rightarrow3\left(2m-1\right)+5\left(m-2\right)=m^2-3\)

\(\Leftrightarrow-m^2+11m-10=0\)

\(\Leftrightarrow m\left(1-m\right)-10\left(1-m\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(1-m\right)\left(m-10\right)=0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}1-m=0\\m-10=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=1\\m=10\end{matrix}\right.\)

Vậy khi \(m=\left\{1;10\right\}\) thì d đi qua gốc tọa độ.

Đk:\(x\ne-2;y\ne-2\)

Xét \(\sqrt{x+2}-y^3=\sqrt{y+2}-x^3\)

\(\Rightarrow x^3-y^3+\sqrt{x+2}-\sqrt{y+2}=0\)

\(\Rightarrow\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)+\dfrac{x-y}{\sqrt{x+2}+\sqrt{y+2}}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2+\dfrac{1}{\sqrt{x+2}+\sqrt{y+2}}\right)\)

Dễ thấy: Với mọi \(x;y\ge-2\) thì \(x^2+xy+y^2+\dfrac{1}{\sqrt{x+2}+\sqrt{y+2}}>0\)

\(\Rightarrow x-y=0\Rightarrow x=y\). Thay vào M có:

\(M=x^2+2x+2018=\left(x+1\right)^2+2017\ge2017\)

Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=-1\)

bài này kq đẹp phết =2017 . cách khác xét

f(t) = t^3 +can(t+2) đi nó đồng biến đó :))

Câu 1/

Ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}2x+y=5m-1\\x-2y=2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4x+2y=10m-2\\x-2y=2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}5x=10m\\x-2y=2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2m\\y=m-1\end{matrix}\right.\)

Mà \(x^2-2y^2=1\)

\(\Rightarrow\left(2m\right)^2-2\left(m-1\right)^2=1\)

\(\Leftrightarrow2m^2+4m-3=0\)

Câu 2/

Gọi lượng nước vòi 1 và vòi 2 chảy vào bể trong 1 giờ lần lược là: x, y. Đổi 4 h 48' = 4,8 h.

Hai vòi nước cùng chảy vào 1 cái bể không có nước trong 4 giờ 48 phút sẽ đầy bể.

\(\Rightarrow4,8x+4,8y=1\left(1\right)\)

Nếu mở vòi thứ nhất trong 3 giờ và vòi thứ 2 trong 4 giờ thì được 0,75 bể nước.

\(\Rightarrow3x+4y=0,75\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) ta có hệ:

\(\left\{{}\begin{matrix}4,8x+4,8y=1\\3x+4y=0,75\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{1}{12}\\y=\dfrac{1}{8}\end{matrix}\right.\)

Vậy nếu chảy một mình thì vòi 1 chảy 12h, vòi 2 chảy 8h thì đầy bể.

\(pt\left(1\right)\Leftrightarrow\left(x-3y+1\right)\left(x+2y-3\right)=0\)

thay vào pt 2 giải

\(x^2+\left(x+1\right)^2=y^4+\left(y+1\right)^4\) (1)

\(\Leftrightarrow2x^2+2x+1=2y^4+4y^3+6y^2+4y+1\)

\(\Leftrightarrow x^2+x=y^4+2y^3+3y^2+2y\)

\(\Leftrightarrow\left(y^2+y+1\right)^2-x^2=1+x\)

hay \(\left(x+1\right)^2-\left(y^2+y+1\right)^2=x\)

* Nếu x > 0 thì

\(x^2< \left(y^2+y+1\right)^2< \left(x+1\right)^2\)

=> (1) không có n_o nguyên (loại)

* Nếu x < - 1 thì

\(x^2>\left(y^2+y+1\right)^2>\left(x+1\right)^2\)

=> (1) không có n_o nguyên (loại)

* Nếu x = 0 hoặc x = - 1 thì

\(\left(1\right)\Leftrightarrow y^2+y+1=\pm1\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}y=0\\y=-1\end{matrix}\right.\) (nhận)

Vậy . . .