Tìm tích xyz biết x,y,z là 3 số thực thỏa mãn \(\left\{{}\begin{matrix}x^2+y^2+z^2=1\\x^3+y^3+z^3=1\end{matrix}\right.\)

Cho đường tròn (O) và 1 cát tuyến d ( không qua O). Từ điểm M trên d nằm ngoài đường tròn ta vẽ 2 tiếp tuyến MA, MB. Đường thẳng BO cắt đường tròn ở C.

a) Chứng minh AC//MO

b) Từ O kẻ đường thẳng vuông góc với BC cắt CA ở D. Chứng minh: MD=OC.

a)\(\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4}\ge ab\)\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2+ab+b^2}{4}\ge0\)\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(a+\dfrac{b}{2}\right)^2+\dfrac{3b^2}{4}}{4}\ge0\left(đpcm\right)\)

Vậy \(\dfrac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\)

*Giúp mình câu c,d

Cho đường tròn (O;R) với đường kính AB và C là điểm nằm trên (O;R) (C khác A,B). Đường phân giác của góc ACB cắt đoạn thẳng AB tại E cắt (O;R) tại điểm thứ 2 K.

a) CM:ΔKAE∼ΔKCA

b) Đường tròn (I) đi qua E và tiếp xúc trong với đường tròn (O;R) tại C. Hãy xác định tâm I của đường tròn (I).

c) Đường tròn (I) cắt CA, CB tại điểm thứ 2 theo thứ tự M,N. CM: MN//AB

d) Đường thẳng EN cắt đoạn thẳng KA tại P, đường thẳng EM cắt đoạn thẳng KB ở Q. Khi C thay đổi trên (O;R), hãy xác định vị trí của C để độ dài đoạn thẳng PQ nhỏ nhất.

\(\Leftrightarrow x^2+4x+5-2\sqrt{2x+\text{3}}=0\Leftrightarrow\left(2x+3-1\right)^2+x^2+2x+1=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2x+2\right)^2+\left(x+1\right)^2=0\Leftrightarrow\sqrt{2}\left(x+1\right)^2+\left(x+1\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{2}+1\right)\left(x+1\right)^2\)\(\Rightarrow x=-1\)

Giúp mình câu b,c,d

Ta có :\(2009^2=\left(1+2008\right)^2=1+2008^2+2.2008\)

\(\Rightarrow1+2008^2=2009^2-2.2008\)

\(\Rightarrow A=\sqrt{2009^2-2.2008+\dfrac{2008^2}{2009^2}}+\dfrac{2008}{2009}=\sqrt{\left(2009-\dfrac{2008}{2009}\right)^2}+\dfrac{2008}{2009}\)

\(=2009-\dfrac{2008}{2009}+\dfrac{2008}{2009}=2009\)
Vậy A là 1 số tự nhiên.

a) Ta có: \(\dfrac{2014}{\sqrt{2015}}+\dfrac{2015}{\sqrt{2014}}=\)

\(\dfrac{2015-1}{\sqrt{2015}}+\dfrac{2014+1}{\sqrt{2014}}=\sqrt{2015}-\dfrac{1}{\sqrt{2015}}+\sqrt{2014}+\dfrac{1}{\sqrt{2014}}\)

\(\left(\dfrac{1}{\sqrt{2014}}-\dfrac{1}{\sqrt{2015}}>0\right)\)\(>\sqrt{2014}+\sqrt{2015}\)

Vậy \(\dfrac{2014}{\sqrt{2015}}+\dfrac{2015}{\sqrt{2014}}>\sqrt{2014}+\sqrt{2015}\)

Cho tam giác ABC có \(\widehat{A}=30^o;\widehat{C}=105^o\) và D là trung điểm của BC. Tính \(\widehat{BAD}\)

1) Cho các số nguyên \(x,y\) thỏa mãn \(x^3+y^3=2016\). Chứng minh rằng: \(\left(x+y\right)^3+3xy\left(x+y\right)\)chia hết cho 18.

2) Tìm tất cả các số nguyên tố \(p\) sao cho \(p^2+14\)là số nguyên tố.

3) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=\sqrt{1-6x+9x^2}+\sqrt{9x^2-12x+4}\)