a: \(x^2-2ax+a^2-a+1=0\)
\(\text{Δ}=\left(-2a\right)^2-4\cdot1\cdot\left(a^2-a+1\right)\)
\(=4a^2-4a^2+4a-4\)
=4a-4
Để phương trình có nghiệm kép thì Δ=0
=>4a-4=0
=>4a=4
=>a=1
Thay a=1 vào phương trình, ta được:
\(x^2-2\cdot1\cdot x+1^2-1+1=0\)
=>\(x^2-2x+1=0\)
=>\(\left(x-1\right)^2=0\)
b: Để phương trình có hai nghiệm thì Δ>=0
=>4a-4>=0
=>4a>=4
=>a>=1
Theo Vi-et, ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=\dfrac{-\left(-2a\right)}{1}=2a\\x_1\cdot x_2=\dfrac{c}{a}=\dfrac{a^2-a+1}{1}=a^2-a+1\end{matrix}\right.\)
\(x_1^2+2a\cdot x_2=9\)
=>\(x_1^2+x_2\left(x_1+x_2\right)=9\)
=>\(\left(x_1^2+x_2^2\right)+x_1\cdot x_2=9\)
=>\(\left(x_1+x_2\right)^2-x_1x_2=9\)
=>\(\left(2a\right)^2-\left(a^2-a+1\right)=9\)
=>\(4a^2-a^2+a-1-9=0\)
=>\(3a^2+a-10=0\)
=>\(3a^2+6a-5a-10=0\)
=>(a+2)(3a-5)=0
=>\(\left[{}\begin{matrix}a+2=0\\3a-5=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=-2\left(lọai\right)\\a=\dfrac{5}{3}\left(nhận\right)\end{matrix}\right.\)
