Question

x1, x2 là 2 nghiệm của `2x^2 +2mx+m^2 -2=0`. Tìm max \(P=\left|2x_1x_2+x_1+x_2-4\right|\)

Answer 1

Lời giải:
Để pt có 2 nghiệm $x_1,x_2$ thì:

$\Delta'=m^2-2(m^2-2)\geq 0$

$\Leftrightarrow 4-m^2\geq 0\Leftrightarrow -2\leq m\leq 2$

Áp dụng định lý Viet:

$x_1+x_2=-m$

$x_1x_2=\frac{m^2-2}{2}$

Khi đó:

$P=|2x_1x_2+x_1+x_2-4|=|m^2-2-m-4|=|m^2-m-6|=|(m+2)(m-3)|$

Do $-2\leq m\leq 2$ nên $m+2\geq 0; m-3<0$

$\Rightarrow P=|(m+2)(m-3)|=(m+2)(3-m)=-m^2+m+6$

$=6,25-(m^2-m+\frac{1}{4})=6,25-(m-\frac{1}{2})^2\leq 6,25$ với mọi $-2\leq m\leq 2$

Vậy $P_{\max}=6,25$ khi $m=\frac{1}{2}$