Áp dụng BDT Cô si cho 2 số ko âm a và b, ta có:
\(a+b\ge2\sqrt[]{ab}\) (1)
Áp dụng BDT Cô si cho 2 số ko âm b và c, ta có:
\(b+c\ge2\sqrt[]{bc}\) (2)
Áp dụng BDT Cô si cho 2 số ko âm c và a, ta có:
\(c+a\ge2\sqrt[]{ca}\) (3)
Lấy (1)+(2)+(3) vế theo vế ta có:
\(a+b+b+c+c+a\ge2\sqrt[]{ab}+2\sqrt[]{bc}+2\sqrt[]{ca}\)
⇔ \(2a+2b+2c\ge2\sqrt[]{ab}+2\sqrt[]{bc}+2\sqrt[]{ca}\)
⇔ \(a+b+c\ge\sqrt[]{ab}+\sqrt[]{bc}+\sqrt[]{ca}\) (đpcm)
Giả sử số thứ 4 là d
Áp dụng BDT Cô si cho 2 số ko âm a và b, ta có:
\(a+b\ge2\sqrt[]{ab}\) (4)
Áp dụng BDT Cô si cho 2 số ko âm b và c, ta có:
\(b+c\ge2\sqrt[]{bc}\) (5)
Áp dụng BDT Cô si cho 2 số ko âm c và d, ta có:
\(c+d\ge2\sqrt[]{cd}\) (6)
Áp dụng BDT Cô si cho 2 số ko âm d và a, ta có:
\(d+a\ge2\sqrt[]{da}\) (7)
Lấy (4)+(5)+(6)+(7) vế theo vế, ta có:
\(2a+2b+2c+2d\ge2\sqrt[]{ab}+2\sqrt{cd}+2\sqrt[]{da}\)
⇔ \(a+b+c+d\ge\sqrt[]{ab}+\sqrt[]{bc}+\sqrt[]{cd}+\sqrt[]{da}\)
Tương tự với 5 số, giả sử số thứ 5 là e, ta có:
\(a+b+c+d+e\ge\sqrt[]{ab}+\sqrt[]{bc}+\sqrt[]{cd}+\sqrt[]{de}+\sqrt[]{ea}\)
