Question

Viết phương trình tham số của đường thẳng là hình chiếu vuông góc của đường

thẳng d:  

lần lượt trên các mặt phẳng sau:

a) (Oxy) ;

b) (Oyz).

 

Answer 1

a) Xét mặt phẳng (P) đi qua d và (P) ⊥ (Oxy), khi đó ∆ = (P)  ∩ (Oxy) chính là hình chiếu vuông góc của d lên mặt phẳng (Oxy).

Phương trình mặt phẳng (Oxy) có dạng: z = 0 ;  vectơ (0 ; 0 ;1) là vectơ pháp tuyến của  (Oxy), khi đó  và  ( 1 ; 2 ; 3) là cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng (P).

 = (2 ; -1 ; 0) là vectơ pháp tuyến của (P).

Phương trình mặt phẳng (P) có dạng:

       2(x - 2) - (y + 3) +0.(z - 1) = 0

 hay 2x - y - 7 = 0.

Đường thẳng hình chiếu ∆ thỏa mãn hệ:

                                       

Điểm M₀( 4 ; 1 ; 0) ∈ ∆ ; vectơ chỉ phương  của ∆ vuông góc với  và vuông góc với , vậy có thể lấy  = (1 ; 2 ; 0).

Phương trình tham số của hình chiếu ∆ có dạng:

                                       .

Chú ý :

Ta có thể giải bài toán này bằng cách sau:

Lấy hai điểm trên d và tìm hình chiếu vuông góc của nó trên mặt phẳng (Oxy). Đường thẳng đi qua hai điểm đó chính là hình chiếu cần tìm.

Chẳng hạn lấy M₁( 2 ; 3 ; -1) ∈ d và  M₂( 0 ; -7 ; -5) ∈ d, hình chiếu vuông góc của 

M₁ trên (Oxy) là N₁ (2 ; -3 ; 0), hình chiếu vuông góc của M₂ trên (Oxy) là N₂(0 ; -7 ; 0).

Đườn thẳng ∆ qua N₁, N­₂ chính là hình chiếu vuông  góc của d lên (Oxy).

Ta có : (-2 ; -4 ; 0) // (1 ; 2 ; 0).

Phương trình tham số của ∆ có dạng:

                                        .

b) Tương tự phần a), mặt phẳng (Oxy) có phương trình x = 0.

 lấy M₁( 2 ; 3 ; -1) ∈ d và  M₂( 0 ; -7 ; -5) ∈ d, hình chiếu vuông góc của 

M₁ trên (Oxy) là M'₁ (0 ; -3 ; 1), hình chiếu vuông góc của M₂ trên (Oyz) là chính nó.

Đườn thẳng ∆ qua M'₁, M­₂ chính là hình chiếu vuông  góc của d lên (Oyz).

Ta có: (0 ; -4 ; -6) //  (0 ; 2 ; 3).

Phương trình M'₁M­₂ có dạng: 

                                          .