Từ điểm P nằm bên ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến PA và PB của (O) lần lượt tại A và B. 1) Chứng minh tứ giác AOBP nội tiếp đường tròn. 2) Vẽ đường kính AC của (O). Chứng minh PO song song với BC. 3) Gọi H và D lần lượt là giao điểm của đoạn thẳng PO với AB và (O). Chứng minh CD là tia phân giác của góc HCP.
1: Xét tứ giác OAPB có \(\widehat{OAP}+\widehat{OBP}=90^0+90^0=180^0\)
nên OAPB là tứ giác nội tiếp
2: Xét (O) có
PA,PB là các tiếp tuyến
Do đó: PA=PB
=>P nằm trên đường trung trực của AB(1)
Ta có: OA=OB
=>O nằm trên đường trung trực của AB(2)
Từ (1),(2) suy ra PO là đường trung trực của AB
=>PO\(\perp\)AB
Xét (O) có
ΔABC nội tiếp
AC là đường kính
Do đó: ΔABC vuông tại B
=>AB\(\perp\)BC
mà AB\(\perp\)OP
nên OP//BC
c.
Theo t/c hai tiếp tuyến cắt nhau: \(PA=PB\)
Lại có \(OA=OB=R\)
\(\Rightarrow OP\) là trung trực của AB \(\Rightarrow OP\perp AB\) tại H
Đồng thời \(\widehat{AOP}=\widehat{BOP}\)
Mà \(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{ACD}=\dfrac{1}{2}\widehat{AOP}\\\widehat{BCD}=\dfrac{1}{2}\widehat{BOP}\end{matrix}\right.\) (góc nt và góc ở tâm cùng chắn 1 cung)
\(\Rightarrow\widehat{ACD}=\widehat{BCD}\) (1)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông AOP:
\(OA^2=OH.OP\)
Mà \(OC=OA=R\Rightarrow OC^2=OH.OP\Rightarrow\dfrac{OC}{OP}=\dfrac{OH}{OC}\)
Xét hai tam giác OCH và OPC có:
\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{COH}-chung\\\dfrac{OC}{OP}=\dfrac{OH}{OC}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\Delta OCH\sim\Delta OPC\left(c.g.c\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{OCH}=\widehat{OPC}\)
Theo câu b, do PO song song BC \(\Rightarrow\widehat{OPC}=\widehat{BCP}\) (so le trong)
\(\Rightarrow\widehat{OCH}=\widehat{BCP}\) (2)
(1);(2) \(\Rightarrow\widehat{ACD}-\widehat{OCH}=\widehat{BCD}-\widehat{BCP}\)
\(\Rightarrow\widehat{DCH}=\widehat{DCP}\)
\(\Rightarrow CD\) là phân giác của \(\widehat{HCP}\)
