Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(-1:1), B(1:3), C(5:2)
a) Tọa độ của vectơ 24B, trung điểm I của BC, trọng tâm G của tam giác ABC .
b) Tinh tích vô hưởng AB.BC.
c) Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành.
d) Tính chu vi tam giác ABC .
e) Tinh độ dài đường trung tuyến kẻ từ A trong tam giác ABC .
f) Tìm tọa độ M thuộc trục Ox sao cho M, A, B thẳng hàng.
a: Tọa độ trung điểm I của BC là:
\(\begin{cases}x_{I}=\frac{x_{B}+x_{C}}{2}=\frac{1+5}{2}=\frac62=3\\ y_{I}=\frac{\left(y_{B}+y_{C}\right)}{2}=\frac{3+2}{2}=\frac52=2,5\end{cases}\)
=>I(3;2,5)
Tọa độ trọng tâm G của ΔABC là:
\(\begin{cases}x_{G}=\frac13\left(x_{A}+x_{B}+x_{C}\right)=\frac13\cdot\left(-1+1+5\right)=\frac53\\ y_{G}=\frac13\left(y_{A}+y_{B}+y_{C}\right)=\frac13\left(1+3+2\right)=\frac13\cdot6=2\end{cases}\)
=>G(5/3;2)
b: A(-1;1); B(1;3); C(5;2)
\(AB=\sqrt{\left(1+1\right)^2+\left(3-1\right)^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt2\)
\(AC=\sqrt{\left(5+1\right)^2+\left(2-1\right)^2}=\sqrt{6^2+1}=\sqrt{37}\)
\(BC=\sqrt{\left(5-1\right)^2+\left(2-3\right)^2}=\sqrt{4^2+1}=\sqrt{17}\)
Xét ΔABC có \(cosABC=\frac{BA^2+BC^2-AC^2}{2\cdot BA\cdot BC}=\frac{8+17-37}{2\cdot2\sqrt2\cdot\sqrt{17}}=\frac{8-20}{4\sqrt{34}}=\frac{-3}{\sqrt{34}}\)
A(-1;1); B(1;3); C(5;2)
=>\(\overrightarrow{BA}=\left(-1-1;1-3\right)=\left(-2;-2\right);\overrightarrow{BC}=\left(5-1;2-3\right)=\left(4;-1\right)\)
\(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=-\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=-BA\cdot BC\cdot cos\left(\overrightarrow{BA};\overrightarrow{BC}\right)\)
\(=-2\sqrt2\cdot\sqrt{17}\cdot cosABC=-2\sqrt{34}\cdot\frac{-3}{\sqrt{34}}=6\)
c: ABCD là hình bình hành
=>\(\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CD}\)
mà \(\overrightarrow{BA}=\left(-2;-2\right);\overrightarrow{CD}=\left(x-5;y-2\right)\)
nên x-5=-2 và y-2=-2
=>x=3 và y=0
=>D(3;0)
d: Chu vi tam giác ABC là:
\(C_{ABC}=AB+BC+AC=2\sqrt2+\sqrt{37}+\sqrt{17}\)
e: A(-1;1); I(3;2,5)
Độ dài đường trung tuyến kẻ từ A trong ΔABC là:
\(AI=\sqrt{\left(3+1\right)^2+\left(2,5-1\right)^2}=\sqrt{4^2+1,5^2}=\sqrt{16+2,25}=\sqrt{18,25}=\frac{\sqrt{73}}{2}\)
f: M thuộc trục Ox nên M(x;0)
M(x;0); A(-1;1); B(1;3)
\(\overrightarrow{MA}=\left(-1-x;1-0\right)=\left(-1-x;1\right);\overrightarrow{MB}=\left(1-x;3-0\right)=\left(1-x;3\right)\)
Vì M,A,B thẳng hàng nên \(\frac{-1-x}{1-x}=\frac13\)
=>\(\frac{x+1}{x-1}=\frac13\)
=>3x+3=x-1
=>2x=-4
=>x=-2
=>M(-2;0)
sao cho 
